‘壹’ 正太分布问题
正态分布，不是正太分布
生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；
一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
个人资产受限较多，如国家政策，个人能力，社会环境等，人为因素太大，一般不遵循正态分布
‘贰’ 为什么假设股票价格服从正态分布是不现实的
有一个最基本的想法，如果股票符合正态分布，那么，会怎样？因为趋势已定，所有人都可以在股票价格变动前预测到股票将来的价格走势。投资将成为一件没有任何意义的事情。
另外，股票价格会受到企业的发展、经济的环境、政策的走势以及人们的心理波动影响。所以，其价格出现非规律变化、非正太分布的波动是非常正常的。
‘叁’ 股票收益率服从正态分布，这种假设合理吗
其实也有点道理，里大盘越近，追踪大盘越紧的收益率越高！希望能够认可。
‘肆’ afp股票收益率正态分布
股票收益率并不是正态分布,而是相比正态分布,还具有尖峰厚尾,波动聚集等特征,这很正常,因为并不是说就一定要正态,假定正态能够方便。
‘伍’ 《超简交易》连载5：正态分布与均值回归
一、正态分布
正态分布（Normal distribution），也称常态分布，是统计学中最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学Gauss（C.F.Gauss，1777-1855）率先将其应用于天文学研究，故此正态分布又称高斯分布（Gaussian distribution），是统计学中最重要的一种概率分布。
正态分布描述的是某件事出现不同结果的概率分布情况，属于一般规律。正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。钟形曲线的特点是：两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。如下图所示：
例如：假设抽样调查了一个学校100名18岁男大学生身高（cm），身高为随机变量、相互独立，服从正态分布。身高的均值μ为172.70cm，标准差σ=4.01cm。这说明：均值μ代表了这些男大学生身高的期望值（或平均身高），中等身高的人比较多，而特别高的和特别低的人比较少。均值μ加减一个标准差σ会有68.27%的男大学生身高处于这个范围，均值μ加减1.96个标准差σ会有95%的男大学生身高处于这个范围，均值μ加减2.58个标准差σ会有99%的男大学生身高处于这个范围。
正态分布对我们有什么意义呢？与正态分布关系紧密的一个现象是“均值回归”。
均值回归（Mean Reversion）是以正态分布假设为基础，认为事物在长期的变化过程中，总有向“平衡位置”（或均值位置）靠拢的倾向。“均值回归”现象是英国人弗朗西斯·高尔顿（FrancisGalton，1822-1911）发现的。高尔顿出身名门，与着名的查尔斯·达尔文（Charles Robert Darwin，1809-1882）是堂兄弟。
大约1875年，高尔顿用一种甜豌豆种子做实验，经过大量、艰辛的实验，高尔顿发现，母豌豆的直径变化范围比子豌豆直径的变化范围要大很多。母豌豆平均直径为0.18英寸，其变化范围为0.15~0.21英寸，或者说在平均值0.18英寸两侧各0.03英寸之内。子豌豆的平均直径为0.163英寸，其变化范围是0.154~0.173英寸，或者说是仅在平均值0.163英寸两边各0.01英寸范围内变动。子豌豆直径的分布比母豌豆直径的分布更为紧凑。
这种回归，在自然界是非常必要的。因为如果这种回归的进程不存在的话，那么，大豌豆会繁殖出更大的豌豆，小的豌豆会繁殖出更小的豌豆……如果这样，这个世界就会两极化，只有侏儒和巨人。大自然会使每一代变得越来越畸形，最终达到我们无法接受的极端。均值回归原理适用于日常生活，比如在体育运动方面，人人都有一个平均水平，只是有时会超水平发挥，有时会低于平均水平。任何一连串的重复活动，其结果通常都会接近平均值或中间值。
例如：打网球时连续挥拍24次，如果有一个球打得特别好，下一个球及可能有点拖泥带水。如果不小心打了一记球，下一个球通产会打得漂亮一点。均值回归原理在自然领域获得了验证，它又与一些社会现象颇为相似，例如：“天下大事，分久必合，合久必分”、“繁荣的必将衰亡，衰亡的必将繁荣”、“富不过三代”、“君子之泽，五世而斩”……等等。
均值回归原理也激发了各种风险承担和预测理论的产生。在圣经中，当约瑟夫对法老王预言“七个富年后必是七个荒年”的时候，他一定已经知道这是事物注定的规律了。而当J.P.摩根认为“市场是波动的”的时候，他所要表达的也正是这个意思。乔治·索罗斯也说：“凡事总有盛极而衰的时候，大好之后便是大坏”。
正如大多数人类活动一样，股市中价格的均值回归从理论上讲具有必然性。因为有一点是可以肯定的，股票价格不能总是上涨或下跌，一种趋势不管其持续的时间多长都不能永远持续下去。在一个趋势内，股票价格呈持续上升或下降，我们称之为均值偏离（Mean Aversion，也叫均值回避）。当出现相反趋势时就呈均值回归（Mean Reversion）。
这也是许多投资者所坚信的信条：当他们说某只股票已经“高估”或者“低估”时，他们指的是恐惧和贪婪使得人们推动股价远离了它的“内在价值”，但是股价最终是要回归的。
二、何时回归
巴菲特：“我觉得要预测会发生什么比较简单，但预测何时发生会比较困难”。“内在价值”，也许真的会“回归”，但关键在于什么时候回归。
不同的股票市场，回归的周期不一样，就是对同一个股票市场来说，每次回归的周期也不一样。有时，长期趋势来得太迟，即便均值回归原理发挥了作用，也无法拯救我们了。到目前为止，均值回归原理仍不能预测的是回归的时间间隔，即回归的周期“随机漫步”。
一次，经济学家凯恩斯说道：“先生们，从长远来看，我们都会死掉的。”如果在狂风暴雨的季节里，经济学家仅能预言：很久后风暴会过去的，一切又会恢复平静的，那么，他们的工作就太简单、太无用了。如果一个人永远强调房价会跌（或股价会涨），那么这人更适合做民意代表，而不是预测者。从长远看，没有只涨不跌的商品。如果不顾事实，永远说会跌，这个猜硬币正反有何区别？只要不改口，硬币总有出反面的时候。
难道均值回归只是一种中看不中用的理论吗？在后续章节中，将会给出变通的方法，讲述如何利用均值回归原理，来捕捉行情走势的波动。
三、回归何处
均值回归是一个简单的概念：身材非常高的父母所生的孩子，一般会比他们的父母矮；而身材非常矮的父母所生的孩子，一般会比他们的父母高。对于大多数人来说，这是个很容易理解的概念。将这个观点应用到证券价格的波动中，意味着证券价格会返回到平均值。
但是，我们遇到一个问题，身高的反转是两代人之间的生理现象，而价格反转是一个实时的动态过程。还有一个重要问题就是“均值”怎么确定。均值本身到底是多少，在经济生活中却是个很模糊的数字。昨天的均值很可能被今天新的正常值所取代，而我们对这个正常值却一无所知。如果仅仅因为过去的经验，认为会回归到原来的均值上去，那是很危险的事情。
有人认为巴菲特是价值投资理念，也是基于均值回归原理，但是学巴菲特的人多如牛毛，能够成功的鲜如牛角。查理·芒格作为沃伦·巴菲特的最佳拍档，有“幕后师爷”和“终极秘密武器”之称。
有人曾问：如何评估一只股票的“内在价值”？
芒格回答：搞清一只股票的“内在价值”，远比成为一个鸟类学家难得多。
依靠均值回归预测未来是十分危险的，因为均值本身就变化不定。
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‘陆’ 如果用matlab验证股票的收盘价符合对数正态分布
先导入数据，然后取收盘价的对数值即y＝ln（y）
clc;clear
y=ln(y)
Std=std(y) %标准差
[F,XI]=ksdensity(y)
figure(1)
plot(XI,F,'o-')
x =randn(300000,1);
figure(2)
[f,xi] = ksdensity(x);
plot(xi,f);
画出概率分布图
ksdensity -------------------- Kernel smoothing density estimation.
表示核平滑密度估计
‘柒’ 关于Black－Scholes模型
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[编辑]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件
[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设
1、股票价格行为服从对数正态分布模式；
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；
3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；
4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；
5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；
7、证券交易是持续的；
8、投资者能够以无风险利率借贷。
[编辑](二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式
C = S * N(d1) − Le − rTN(d2)
其中:
C—期权初始合理价格
L—期权交割价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率H
σ2—年度化方差
N()—正态分布变量的累积概率分布函数 ，在此应当说明两点：
第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0853，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则。
[编辑]B-S定价模型的推导与运用
(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:
E[G] = E[max(St − L,O)]
其中，E[G]—看涨期权到期期望值
St—到期所交易金融资产的市场价值
L—期权交割(实施)价
到期有两种可能情况:
1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(St − L,O) = St − L
2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:
max(St − L,O) = 0
从而:
其中:P：(St > L)的概率E[St | St > L]：既定(St > L)下St的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:
C = Pe − rT(E[St | St > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[St | St > L]。
首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(St)与现价(S)比值的对数值，即收益 = lnSt / S = ln(St / L)。由假设1收益服从对数正态分布，即ln(St / L)～，所以E[lN(St / S] = μt，St / S～可以证明，相对价格期望值大于eμt，为:E[St / S] = eμt + σ2T2 = eeT从而，μt = T(r − σ2)，且有σt = σT
其次，求(St > L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ξ > x] = 1 − N(x − μσ)其中:
ζ：正态分布随机变量
x：关键值
μ：ζ的期望值
σ：ζ的标准差
所以:P = Pr06[St > 1] = Pr06[lnSt / s] > lnLS = :LN − lnLS − (r − σ2)TσTnc4 由对称性:1 − N(d) = N( − d)P = NlnSL + (r − σ2)TσTarS。
第三，求既定St > L下St的期望值。因为E[St | St > L]处于正态分布的L到∞范围，所以，
E[St | St] > = SerTN(d1)N(d2)
其中:
最后，将P、E[St | St] > L]代入(C = Pe − rT(E[St | St > L] − L))式整理得B-S定价模型:C = SN(d1) − Le − rTN(d2)
(二)看跌期权定价公式的推导
B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:
S + Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) − T
移项得:
Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) − T − S，
将B-S模型代入整理得:
此即为看跌期权初始价格定价模型。
(三)B-S模型应用实例
假设市场上某股票现价S为 164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:
①求d1:
=0.0328
②求d2:
③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761
④求C:
C=164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.4761=5.803
因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。
[编辑]B-S模型的发展、股票分红
B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。
(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间t(即除息日)支付已知红利Dt，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S' = S − Dte − rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:
(二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004= 6.56。值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。
在此红利现值为:S(1-E-δT)，所以S′=S•E-δT，以S′代S，得存在连续红利支付的期权定价公式:C=S•E-δT•N(D1)-L•E-γT•N(D2)
[编辑]B-S模型的影响
自B-S模型1973年首次在政治经济杂志(Journalofpo Litical Economy)发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场进行探索也是必要的，我们才刚刚起步。
[编辑]对B-S模型的检验､批评与发展
B-S模型问世以来，受到普遍的关注与好评，有的学者还对其准确性开展了深入的检验。但同时，不少经济学家对模型中存在的问题亦发表了不同的看法，并从完善与发展B-S模型的角度出发，对之进行了扩展。
1977年美国学者伽莱(galai)利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据，首次对布-肖模型进行了检验。此后，不少学者在这一领域内作了有益的探索。其中比较有影响的代表人物有特里皮(trippi)､奇拉斯(chiras)､曼纳斯特(manuster)､麦克贝斯(macbeth)及默维勒(merville)等。综合起来，这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法：
1.模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳。
2.对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权。
3.对临近到期日的期权的估价存在较大误差。
4.离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。但总体而言，布-肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。
对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了布-肖模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面：
首先，对股价分布的假设。布-肖模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。麦顿(merton)､考克斯(cox)､罗宾斯坦(robinstein)以及罗斯(ross)等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括由于重大事件而引起的跳起情形，忽略后一种情况是不全面的。他们用二项分布取代对数正态分布，构建了相应的期权定价模型。
其次，关于连续交易的假设。从理论上讲，投资者可以连续地调整期权与股票间的头寸状况，得到一个无风险的资产组合。但实践中这种调整必然受多方面因素的制约：1.投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金；2.股票的可分性受具体情况制约；3.频繁的调整必然会增加交易成本。因此，现实中常出现非连续交易的情况，此时，投资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而布-肖模型并未考虑到这一点。
再次，假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。布莱克本人后来的研究表明，随着股票价格的上升，其方差一般会下降，而并非独立于股价水平。有的学者(包括布莱克本人)曾想扩展布-肖模型以解决变动的离散度的问题，但至今未取得满意的进展。
此外，不考虑交易成本及保证金等的存在，也与现实不符。而假设期权的基础股票不派发股息更限制了模型的广泛运用。不少学者认为，股息派发的时间与数额均会对期权价格产生实质性的影响，不能不加以考察。他们中有的人对模型进行适当调整，使之能反映股息的影响。具体来说，如果是欧洲买方期权，调整的方法是将股票价格减去股息(d)的现值替代原先的股价，而其他输入变量不变，代入布-肖模型即可。若是美国买方期权，情况稍微复杂。第一步先按上面的办法调整后得到不提早执行情况下的价格。第二步需估计在除息日前立即执行情况下期权的价格，将调整后的股价替代实际股价，距除息日的时间替代有效期限､股息调整后的执行价格(x-d)替代实际执行价格，连同无风险利率与股价离散度等变量代入模型即可。第三步选取上述两种情况下期权的较大值作为期权的均衡价格。需指出的是，当支付股息的情况比较复杂时，这种调整难度很大。
‘捌’ 请检验沪深300价格收益率序列是否服从正态分布
股市有自己的去年规律，它不是随机的数，所以不服从正态分布。
‘玖’ 为什么股票价格服从对数正态分布
我们可以假设连续复利，用lnS1-lnS0来近似股票的收益（S1-S0）/S0，而且根据集合布朗运动可知，此收益是服从正态分布的。
‘拾’ 股市K线中的正态分部是什么
一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。 服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。