A. 如何在matlab中用蒙特卡洛模擬計算歐式期權價格
function [c,p]=ucoption(S,X,sigma,r,T,M)
sig2=sigma^2;
srT=sqrt(T);
srTa=sigma*srT;
c=0;
p=0;
for i=1:M
ST=S*exp((r-0.5*sig2)*T+srTa*randn);
c=c+max(ST-X,0);
p=p+max(X-ST,0);
end
c=c/M;
p=p/M;
[Call,Put] = blsprice(S, X, r, T, sigma);
error=[c,p]-[Call,Put]
%可以試試 [c,p]=ucoption(10,10,0.3,0.05,0.5,10^4*100);
B. 如何用matlab計算期權價格
參考論文
期權定價理論是現代金融學中最為重要的理論之一，也是衍生金融工具定價中最復雜的。本文給出了歐式期權定價過程的一個簡單推導，並利用Matlab對定價公式給出了數值算例及比較靜態分析，以使讀者能更直觀地理解期權定價理論。
關鍵詞：Matlab；教學實踐
基金項目：國家自然科學基金項目（70971037）；教育部人文社科青年項目（12YJCZH128）
中圖分類號：F83文獻標識碼：A
收錄日期：2012年4月17日
現代金融學與傳統金融學最主要的區別在於其研究由定性分析向定量分析的轉變。數理金融學即可認為是現代金融學定量分析分支中最具代表性的一門學科。定量分析必然離不開相應計算軟體的應用，Matlab就是一款最為流行的數值計算軟體，它將高性能的數值計算和數據圖形可視化集成在一起，並提供了大量內置函數，近年來得到了廣泛的應用，也為金融定量分析提供了強有力的數學工具。
一、Black-Scholes-Merton期權定價模型
本節先給出B-S-M期權定價模型的簡單推導，下節給出B-S-M期權定價模型的Matlab的實現。設股票在時刻t的價格過程S（t）遵循如下的幾何Brown運動：
dS（t）=mS（t）dt+sS（t）dW（t）（1）
無風險資產價格R（t）服從如下方程：
dR（t）=rR（t）dt（2）
其中，r，m，s＞0為常量，m為股票的期望回報率，s為股票價格波動率，r為無風險資產收益率且有0＜r＜m；dW（t）是標准Brown運動。由式（1）可得：
lnS（T）：F［lnS（t）+（m-s2/2）（T-t），s■］（3）
歐式看漲期權是一種合約，它給予合約持有者以預定的價格（敲定價格）在未來某個確定的時間T（到期日）購買一種資產（標的資產）的權力。在風險中性世界裡，標的資產為由式（1）所刻畫股票，不付紅利的歐式看漲期權到期日的期望價值為：■［max（S（T）－X，0）］，其中■表示風險中性條件下的期望值。根據風險中性定價原理，不付紅利歐式看漲期權價格c等於將此期望值按無風險利率進行貼現後的現值，即：
c=e-r（T－1）■［max｛S（T）－X，0｝］（4）
在風險中性世界裡，任何資產將只能獲得無風險收益率。因此，lnS（T）的分布只要將m換成r即可：
lnS（T）：F［lnS（t）+（r-s2/2）（T-t），s■］（5）
由式（3）-（4）可得歐式看漲期權價格：
c=S（t）N（d1）-Xe-r（T－1）N（d2）（6）
這里：
d1=■（7）
d2=■=d1-s■（8）
N（x）為均值為0標准差為1的標准正態分布變數的累積概率分布函數。S（t）為t時刻股票的價格，X為敲定價格，r為無風險利率，T為到期時間。歐式看跌期權也是一種合約，它給予期權持有者以敲定價格X，在到期日賣出標的股票的權力。
下面推導歐式看漲期權c與歐式看跌期權p的聯系。考慮兩個組合，組合1包括一個看漲期權加上Xe-r（T－1）資金，組合2包含一個看跌期權加上一股股票。於是，在到期時兩個組合的價值必然都是：
max｛X，S（T）｝（9）
歐式期權在到期日之前是不允許提前執行的，所以當前兩個組合的價值也必相等，於是可得歐式看漲期權與看跌期權之間的平價關系（put-call parity）：
c+Xe-r（T－t）=p+S（t）（10）
由式（10）可得，不付紅利歐式看跌期權的價格為：
p=Xe-r（T－t）N（－d2）－S（t）N（-d1）（11）
二、Black-Scholes-Merton模型的Matlab實現
1、歐式期權價格的計算。由式（6）可知，若各參數具體數值都已知，計算不付紅利的歐式看漲期權的價格一般可以分為三個步驟：先算出d1，d2，涉及對數函數；其次計算N（d1），N（d2），需要查正態分布表；最後再代入式（6）及式（11）即可得歐式期權價格，涉及指數函數。不過，歐式期權價格的計算可利用Matlab中專有blsprice函數實現，顯然更為簡單：
[call，put]=blsprice（Price，Strike，Rate，Time，Volatility）（12）
只需要將各參數值直接輸入即可，下面給出一個算例：設股票t時刻的價格S（t）＝20元，敲定價格X＝25，無風險利率r=3%，股票的波動率s=10%，到期期限為T－t=1年，則不付紅利的歐式看漲及看跌期權價格計算的Matlab實現過程為：
輸入命令為：[call，put]= blsprice（20，25，0.03，0.1，1）
輸出結果為：call=1.0083put=5.9334
即購買一份標的股票價格過程滿足式（1）的不付紅利的歐式看漲和看跌期權價格分別為1.0083元和5.9334元。
2、歐式期權價格的比較靜態分析。也許純粹計算歐式期權價格還可以不利用Matlab軟體，不過在授課中，教師要講解期權價格隨個參數的變化規律，只看定價公式無法給學生一個直觀的感受，此時可利用Matlab數值計算功能及作圖功能就能很方便地展示出期權價格的變動規律。下面筆者基於Matlab展示歐式看漲期權價格隨各參數變動規律：
（1）看漲期權價格股票價格變化規律
輸入命令：s=（10∶1∶40）；x=25；r=0.03；t=1；v=0.1；
c=blsprice（s，x，r，t，v）；
plot（s，c，'r-.'）
title（'圖1看漲期權價格股票價格變化規律'）；
xlabel（'股票價格'）；ylabel（'期權價值'）；grid on
（2）看漲期權價格隨時間變化規律
輸入命令：s=20；x=25；r=0.03；t=（0.1∶0.1∶2）；v=0.1；c=blsprice（s，x，r，t，v）；
plot（t，c，'r-.'）
title（'圖2看漲期權價格隨時間變化規律'）；
xlabel（'到期時間'）；ylabel（'期權價值'）；grid on
（3）看漲期權價格隨無風險利率變化規律
s=20；x=25；r=（0.01∶0.01∶0.5）；t=1；v=0.1；c=blsprice（s，x，r，t，v）；
plot（r，c，'r-.'）
title（'圖3看漲期權價格隨無風險利率變化規律'）；
xlabel（'無風險利率'）；ylabel（'期權價值'）；grid on
（4）看漲期權價格隨波動率變化規律
s=20；x=25；r=0.03；t=1；v=（0.1∶0.1∶1）；c=blsprice（s，x，r，t，v）；
plot（v，c，'r-.'）
title（'圖4看漲期權價格隨波動率變化規律'）；
xlabel（'波動率'）；ylabel（'期權價值'）；grid on
（作者單位：南京審計學院數學與統計學院）
主要參考文獻：
[1]羅琰，楊招軍，張維.非完備市場歐式期權無差別定價研究[J].湖南大學學報（自科版），2011.9.
[2]羅琰，覃展輝.隨機收益流的效用無差別定價[J].重慶工商大學學報（自科版），2011.
[3]鄧留寶，李柏年，楊桂元.Matlab與金融模型分析[M].合肥工業大學出版社，2007.
C. 股票指數期權的定價公式
期權定價問題（Options Pricing）一直是理論界與實務界較為關注的熱點問題，同時也是開展期權交易所遇到的最為實際的關鍵問題。期權價格是期權合約中惟一的可變數，它通常由內涵價值與時間價值兩部分構成。而決定期權價格的主要因素包括以下幾方面：（1）履約價格的高低；（2）期權合約的有效期；（3 ）期權標的物市場的趨勢；（4）標的物價格波動幅度；（5）利率的變化。股票指數期權價格的確定也是如此。
根據布萊克·修斯的期權定價模型， 可以分別得到歐式看漲股票指數期權和看跌股票指數期權的定價公式為：
c=se-q(T-t)N（d1）-xe-r（T-t）N（d2）；
P=xe-r(T-t)N（-d2）N-se-q(T-t)N（-d1）。
其中 ln(SX)+(r-q+σ2/2)(T-t) ┌──
d1=───────────── ，d2=d1-σ│T-T
┌──
σ│T-t
S為股票指數期權的現貨價格，X為執行價格，T為到期日，r為無風險年利率，q為年股息率，σ為指數的年變化率即風險。
例如，以期限為兩個月的標准普爾500指數的歐式看漲期權，假定現行指數價格為310，期權的協議價格為300，無風險年利率為8%，指數的變化率年平均為20 %，預計第一個月和第二個月的指數平均股息率分別為0.2%和0.3%。將這些條件，即S=310，X=300，r=0.08，σ=0.2，T-T=0.1667，q=0.5%×6=0.03，代入以上的歐式看漲股票指數期權定價公式，可以得到d1=0.5444，d2=0.4628，N（d1）= 0.7069，N（d2）=0.6782，則C=17.28，即一份股票指數期權合約的成本為17.28 美元。
D. 平價關系式中可以說一種資產是什麼
在20世紀70年代初，費希爾·布萊克( Fisher black)、邁倫·斯科爾斯( Myron Scholes)和羅伯特·默頓( Robert Merton)在對歐式股票期權定價研究方面取得了重大的理論突破，提出了針對歐式期權定價的模型，該模型被稱為布萊克-斯科爾斯-默頓模型(簡稱BSM模型)。
模型假設：
在推導出布萊克斯科爾斯-默頓模型時，有以下7個假設前提條件：
一是假設基礎資產的股票價格服從幾何布朗過程；二是可以賣空證券，並且可以完全運用賣空所獲得的資金；三是無交易費用和無稅收，所有證券均可無限分割；四是在期權期限內，基礎資產無期間收入(比如股票不支付股息)；五是市場不存在無風險套利機會；六是證券交易是連續進行的；七是短期無風險利率是一個常數，並對所有期限都是相同的。
微分方程：
此外，模型在推導過程中運用到了一個很重要的微分方程，具體就是
微分方程
其中，式子中的 f 表示看漲期權價格，S表示期權基礎資產的價格，r為連續復利的無風險收益率，σ為基礎資產價格百分比變化(收益率)的波動率，t是時間變數。
定價公式：
歐式看漲期權的定價公式
看漲期權定價公式
通過看漲-看跌平價關系式，可以得到看跌期權的定價公式：
看跌期權定價公式
其中：
d的計算
c與p分別代表歐式看漲、看跌期權的價格，S0是基礎資產在初始0時刻的價格，K是期權的執行價格，r是連續復利的無風險收益率，σ為基礎資產價格百分比變化(收益率)的年化波動率，T是期權合約的期限(單位是年)，N()表示累積標准正態分布的概率密度。
代碼實現基於布萊克-斯科爾斯-默頓模型計算歐式看漲期權、看跌期權定價的函數：
import numpy as np
from scipy.stats import norm
def call_BS(S,K,sigma,r,T):
'''用bs模型計算歐式看漲期權價格
S 期權基礎資產價格
K 期權執行價格
sigma 基礎資產價格百分比變化（收益率）的年化波動率
r 無風險收益率
T 期權合約剩餘年限
'''
d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
return S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
def put_BS(S,K,sigma,r,T):
'''用bs模型計算歐式看跌期權價格
S 期權基礎資產價格
K 期權執行價格
sigma 基礎資產價格百分比變化（收益率）的年化波動率
r 無風險收益率
T 期權合約剩餘年限
'''
d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
return K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1)
例子：
一份期限為6個月的股票期權，期權的基礎資產是工商銀行的A股股票,2018年12月28日股票收盤價是5.29元/股，期權的執行價格為6元股，無風險利率為年化4%，股票收益率的年化波動率是24%，運用布萊克斯科爾斯-默頓模型計算看漲期權看跌期權的價格。
call_BS(S=5.29, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5)
put_BS(S=5.29, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5)
二、看漲-看跌期權 平價關系式
具有相同執行價格與期限的歐式看跌期權、看漲期權在價格上有一個重要關系式。
1.兩個投資組合
首先，考慮以下兩個投資組合在期權合約到期時的盈虧情況。A投資組合：一份歐式看漲期權和一份在T時刻到期的本金為K的零息債券；B投資組合：一份歐式看跌期權和一份基礎資產。這里需要假設看漲期權與看跌期權具有相同的執行價格K與相同的合約期限T。
對於A投資組合而言，零息債券在期權合約到期日(T時刻)的價值顯然是等於K，而對於看漲期權則分兩種情形討論。
情形1：如果在T時刻，基礎資產價格St>K，A投資組合中的歐式看漲期權將被執行，此時，A投資組合的價值是(St-K)+K=St；
情形2：如果在T時刻，基礎資產價格St<K，A投資組合中的歐式看漲期權就沒有價值，此時A投資組合的價值為K。
對於B投資組合而言，也分兩種情形討論。
情形1：如果在T時刻，基礎資產價格St>K，此時，B投資組合中的歐式看跌期權沒有價值，此時，B投資組合價值為St，也就是僅剩下基礎資產的價值；
情形2：如果在T時刻，基礎資產價格St<K，此時，B投資組合中的歐式看跌期權會被行使，此時B投資組合價值為(K-St)+St=K。綜合以上的分析，當St>K時，在T時刻兩個投資組合的價值均為St；當St<K時在T時刻兩個投資組合的價值均為K。換而言之，在T時刻(期權合約到期時)，兩個投資組合的價值均為max(St, K)
由於A投資組合與B投資組合中的期權均為歐式期權，在期權到期之前均不能行使，既然兩個投資組合在T時刻均有相同的收益，在期權合約的存續期內也應該有相同的價值。否則，就會出現無風險套利機會，套利者可以買入價格低的投資組合，與此同時賣空價格高的投資組合進行無風險的套利，無風險套利收益就是等於兩個組合價值的差額。
2. 抽象的數學表達式
看漲期權 + 零息債券價格 = 看跌期權 + 基礎資產價格
平價共識
代碼實現：
def call_parity(p,S,K,r,T):
'''通過平價關系式用看跌期權價格計算歐式看漲期權價格。
p：歐式看跌期權價格
S：期權基礎資產價格
K：執行價格
r：無風險收益率
T：合約剩餘期限
'''
return p + S - K * np.exp(-r * T)
def put_parity(c,S,K,r,T):
'''通過平價關系式，用看漲期權價格計算歐式看跌期權價格。
c：歐式看漲期權價格
S：期權基礎資產價格
K：執行價格
r：無風險收益率
T：合約剩餘期限
'''
return c + K * np.exp(-r * T) - S
例子：
假設當前股票價格為20元股，期權的執行價格為18元/股，無風險收益率為每年5%,3個月的歐式看漲期權價格對外報價是2.3元,3個月的歐式看跌期權對外報價是0.3元，期權價格是否合理？
call_parity(p=0.3, S=20, K=18, r=0.05, T=0.25)
==>2.523599591110134
put_parity(c=2.3, S=20, K=18, r=0.05, T=0.25)
==>0.07640040888986732
通過計算，看漲期權被低估，看跌期權則被高估，因此可以通過持有看漲期權的多頭頭寸並買入零息債券(相當於買入A投資組合)，同時持有看跌期權的空頭頭寸並賣空基礎資產（相當於賣空B投資組合），從而實現無風險套利。
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