㈠ 什麼是ITO定理
伊藤過程
控制論
的發明人維納在1923年指出，布朗運動在數學上是一個隨機過程，提出了用「隨機微分方程」來描述，因此人們也把布朗運動稱為維納過程；
日本
數學家伊藤發展建立了帶有布朗運動干擾項的隨機微分方程，
dx(t)=μ（t,x）dt+σ（t,x）dB
σ（t,x）是干擾強度，μ（t,x）是漂移率
該方程描寫的過程是伊藤過程。伊藤過程可看成為一般化的維納過程，它直接把布朗運動理解為隨機干擾，從而賦予了布朗運動最一般的意義。
布朗運動是隨機漲落的典型現象, 一般地說，許許多多的宏觀觀測，都要受到布朗運動的限制. 法國經濟學家Bachelier L把股價的變動理想化為布朗運動,在此基礎上，經濟學家把伊藤過程方程用於描寫股票價格)（!）行為過程的一種模式，為更確切地描寫股票價格的行為過程，伊藤過程方程被修正為
dS(t)/S(t)=μdt+σdB
其中σ為股票價格波動率、 μ為股票價格的預期收益率,人們把它稱為股價方程，它是一個隨機微分方程.由伊藤過程描述的股價方程是一個正向的隨機微分方程，從確定的S(0)=S0出發，根據布朗運動
的隨機變數B(t)在0-t之間的形態，來推斷軌線的統計行為.
㈡ 求經濟B-S期權定價模型的原理還有計算方法
假定股票價格服從幾何布朗運動，即dSt/St=μdt+σdWt. St為t時點股票價格，μ為漂移量，σ為波動率，Wt為標准布朗運動。使用伊藤公式。然後用無套利原理求得BSPDE。
㈢ 幾何布朗運動的幾何布朗運動的特性
給定初始值S0，根據伊藤積分，上面的 SDE（【數】隨機微分方程式）
有如下解: St=S0exp((μ−σ22)t+σWt), 對於任意值 t，這是一個對數正態分布隨機變數，其期望值和方差分別是 E(St)=S0eμt, Var(St)=S20e2μt(eσ2t−1), 也就是說St的概率密度函數是: fSt(s;μ,σ,t)=12π−−√1sσt√exp⎛⎝⎜⎜−(lns−lnS0−(μ−12σ2)t)22σ2t⎞⎠⎟⎟. 根據伊藤引理，這個解是正確的。
比如，考慮隨機過程 log(St). 這是一個有趣的過程，因為在布萊克-舒爾斯模型中這和股票價格的對數回報率相關。對f(S) = log(S)應用伊藤引理，得到 dlog(S)=f′(S)dS+12f′′(S)S2σ2dt=1S(σSdWt+μSdt)−12σ2dt=σdWt+(μ−σ2/2)dt. 於是Elog(St)=log(S0)+(μ−σ2/2)t.
這個結果還有另一種方法獲得：applying the logarithm to the explicit solution of GBM: log(St)=log(S0exp((μ−σ22)t+σWt))=log(S0)+(μ−σ22)t+σWt. 取期望值，獲得和上面同樣的結果:Elog(St)=log(S0)+(μ−σ2/2)t.
㈣ 幾何布朗運動
問題一：幾何布朗運動的均值函數怎麼求 設布朗運動為B(t),布朗運動本身是正態分布,而且滿足分布~N（0,t）.幾何布朗運動是W（t）=exp（B（t））；這是一個很好的線性對應關系.所以均值就是（如圖）
解這個簡單的積分,就得到均值：exp（t/2） 順便方差也求了吧：exp（2t）-exp(t)
問題二：請問如何用R語言做大量次數的幾何布朗運動的模擬（參數μ，σ已知） 10分 這上網搜應該搜的到吧，比如這篇文章
股票價格行為關於幾何布朗運動的模擬--基於中國上證綜指的實證研究
,照著幾何布朗運動的公式直接寫代碼應該就行了吧，代碼邏輯都很清晰。
下面是照著這片文章模擬一次的代碼，模擬多次的話，外面再套個循環應該就行了。然後再根據均方誤差(一般用這個做准則的多)來挑最好的。
話說你的數據最好別是分鍾或者3s切片數據，不然R這速度和內存夠嗆。
N 問題三：研究衍生品的時候為什麼用幾何布朗運動來模擬股票價格的運行軌跡 其實很簡單，GBM（至少在一定程度上）符合人們對市場的觀察。例如，直觀的說，股票的價格看起來很像隨機遊走，再例如，股票價格不會為負，這樣起碼GBM比普通的布朗運動合適，因為後者是可以為負的。
再稍微復雜一點，對收益率做測試（ S(t)/S(t-1) - 1）做測試，發現，哎居然還基本是個正態分布。收益率是正態的，股價就是GBM模型
總之，就是大家做了很多統計測試，發現假設成GBM還能很好的逼近真實數值，比較接近事實。所以就用這個。
其實將精確的數學模型應用到金融的時間非常短。最早是1952年的Markowitz portfolio selection. 那個其實就是一個簡單的優化問題。後來的CAPM APT等諸多模型，也僅僅研究的是一系列證券，他們之間回報、收益率以及其他影響因素關系，沒有涉及到對股價運動的描述。
第一次提出將股價是GBM應用在嚴格模型的是black-scholes model 。在這個模型中提出了若干個假設，其中一個就是股價是GBM的。
問題四：如何確定幾何布朗運動模型中的參數 幾何布朗運動只是模型，是 exp{Bt }這樣的形式。你用模型什麼事是關鍵，確定參數，在英文中叫calibration.
如果你是用 geometric brownian motion 去模型options, 這樣的東西，是關系你的模型本身，比如black-scholes模型，關於它的參數calibration，這樣的技術其實已經很完備，經典的金融數學教科書上都有的，其主要是根據市場上option的價格反推出模型的參數的。
㈤ 幾何布朗運動
一、正態隨機變數概率密度函數描述：
(μ為總體均數、σ為標准差）
二、布朗運動的數學描述：
價格時間函數P(x），T+t時刻的價格P(T+t)與T時刻價格P(T)的差值：P(T+t)-P(T)是一個正態隨機變數，分布的平均期望值μt，標准差為。（T>0，t>0)
重大缺陷：
1、按此價格理論上可有負值，但實際中價格不可能存在負值。
2、不論價格初值為何值，固定時間長度的價格差具有相同的正態分布，不符合常理。
三、幾何布朗運動：
把價格差改為價格的漲跌幅：可以避免直接使用布朗運動描述價格的缺陷，即為幾何布朗運動。
是一個正態隨機變數，分布的平均期望值μt，標准差為。（T>0，t>0)
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幾何布朗運動
幾何布朗運動的作用是用來模擬股價的變動。它的好處在於，一般形式布朗運動中取值可能為負數，而幾何布朗運動取值永遠不小於0，這一點符合股價永遠不為負的特徵。
幾何布朗運動微分形式的表述。或者稱SDE（隨機微分方程）形式：
其中的S(t)可以理解為股價。
幾何布朗運動函數形式表述：
上述式子告訴我們，可以先生成一服從的一般形式布朗運動，然後求其指數函數，最後乘以S(0)，即期初的股價，就可以得到幾何布朗運動。
補充：為何這里t的系數多出一項？具體可以參考伊藤公式。
歡迎求助 三個人的團兒！！！
㈥ 證券價格服從漂移參數0.05，波動參數0.3的幾何布朗運動，當前價格為95，利率是4% 假設有種
根據題目，若假設有種新型投資，若購買該投資後六個月內證券價格至少為105，並且購買一年後的價格至少和六個月時價格一樣多，那麼這種投資一年後的收益為50。
幾何布朗運動 (GBM)（也叫做指數布朗運動）是連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變數的對數遵循布朗運動。[1]幾何布朗運動在金融數學中有所應用，用來在布萊克-斯科爾斯模型（Black-Scholes 模型）中模擬股票價格。本題中，若若假設有種新型投資，若購買該投資後六個月內證券價格至少為105，並且購買一年後的價格至少和六個月時價格一樣多，那麼計算為：50乘exp（-0.04）再乘【S（1/2）>105的概率】再乘【S（1）>S（1/2）的概率，則這種投資一年後的收益為50。
拓展資料：
1.常見隨機過程介紹
1）幾何布朗運動（GBM）：這個過程被Black-Scholes（1973）引入到期權定價文獻中，雖然這個過程有一些缺陷，並且與實證研究存在著沖突，但是仍然是一種期權和衍生品估值過程的基礎過程。
2）CIR模型：平方根擴散過程，這種過程由Cox，Ingersoll和Ross（1985）所提出，用於對均值回復的數量，例如利率或波動率進行建模，除了均值回復的特性以外，這個過程還是保持為正數。
3）跳躍擴散過程(Jump Diffusion)：首先由Merton（1976）所給出，為幾何布朗運動增加了對數正態分布的條約成分，這允許我們考慮，例如，短期虛值（OTM）的期權通常需要在較大條約的可能性下定價。換句話說，依賴GBM作為金融模型通常不能解釋這種OTM的期權的價格，而跳躍擴散過程可能很好的解釋。
4）Heston模型：是由Steven Heston（1993）提出的描述標的資產波動率變化的數學模型。Heston模型是一個隨機波動模型，這種模型假設資產收益率的波動率並不恆定，也不確定，而是跟隨一個隨機過程來運動。
5）SABR模型：SABR 模型是由Hagan（2002）提出的一種隨機波動率模型，在拋棄了原始的BSM模型中對於波動率為某一常數的假定，假設隱含波動率同樣是符合幾何布朗運動的，並且將隱含波動率設定為標的價格和合約行權價的函數，結合了隱含波動率修正模型的兩種思路（隨機波動率模型和局部波動率模型），更為准確的動態刻畫出吻合市場特徵的隱含波動率曲線。