㈠ 鞅過程與馬爾科夫過程的關系
鞅和馬爾可夫過程沒有包含的關系。因為鞅代表的是公平游戲，而馬爾可夫過程側重過程無記憶性。兩者沒有內在聯系。
鞅（martingale）：如果隨機過程X(t)滿足對任意的s<t，都滿足，則稱為鞅。
直觀上而言，已知鞅過程在某一時刻的值時，其任意之後時刻的條件期望為這一時刻的值。從賭徒的角度來看，它是一個公平的游戲。
舉例而言，如果我們在玩搖骰子比大小的游戲，每一輪輸家要給贏家一元錢。假設游戲公平，在第十局結束後，你已經發現自己贏了4元，在十一局時，由於游戲的公平性，你有一半幾率贏一元，也有一半幾率輸一元。此時你在第十一局結束後收益的條件期望為4元。甚至，在第二十局時你收益的期望依然是4元。從第十局以後，無論局數為多少，你的條件期望都會等於在第十局的收益。此時你的收益就是一個鞅過程。
馬爾可夫過程（Markov Process）：如果隨機過程X(n)滿足對任意時刻，給過去全部經歷的路程，其分布與給最近一點的位置相同，即。
直觀上而言，如果我要研究一個馬爾可夫過程未來的發展，你給我這個過程經歷的路程與給我你最後觀察到的點的位置是等價的，即擁有路程並不能帶來更多的信息。這或許有點難以理解，但如果你假設股票的價格是馬爾可夫過程，那麼你做決策僅僅在乎此時的股票價格而不會在乎股票整體的走勢。這說明，馬爾可夫過程側重於過程的無記憶性。
舉例而言，小紅家住在10樓，她可以坐電梯或者走樓梯下樓。但是樓梯口某個位置特別暗，有可能會在那栽跟頭。如果我們假設這是個馬爾可夫過程，當我們觀察到小紅今天走樓梯下樓時，我們就會說小紅今天有幾率p在那邊摔倒，此時摔倒的幾率為一個常數。轉而言之，我們並不在乎小紅走過多少次樓梯口，我們假設她永遠不會從上次的摔倒中學習。也就是說，小紅在樓梯口摔了一次與摔了十次後，只要觀察到她走樓梯，她就有相同的機會在同樣的地方栽跟頭。
對於布朗運動而言，其既是鞅又是馬爾可夫過程。
由於布朗運動的增量獨立且均值為0的特性，（即與獨立且均值為0）。我們很容易證明布朗運動即是鞅又是馬爾可夫過程。但對於一般的情形，鞅與馬爾可夫過程並沒有更多相關性。究其原因，是因為兩者的側重點不同，鞅側重公平性，而馬爾可夫過程側重無記憶性。這兩者並無聯系。
兩者無包含關系舉例。
是馬爾可夫卻不是鞅的過程：帶飄移的布朗運動：。此時無記憶性並不違背，因為與都具有獨立增量，因此知道路徑並不會比知道最近的點要優越。但是這個過程卻不是鞅，因為它並不公平。由於飄移項的引入，其均值會一直增大，在賭博中，如果你的期望收益一直變大，那這個游戲一定不會是公平的。因此，這個過程是馬爾可夫卻不是鞅。
是鞅卻不是馬爾可夫的過程：過程相關的Ito積分：。此時在t時刻的增量會是與過去所有路徑的積分相關的隨機變數。此時僅僅知道最近一點的觀察值不足以給出很好的預測，我們需要知道全部的路程。但這個過程卻會是鞅，因為每一個增量都可以表示成路徑和布朗運動增量的和，而布朗運動均值為零，故其增量會為零，不違背鞅的性質。因此，這個過程是鞅而不是馬爾可夫。
㈡ 如何利用經濟學理論解釋股票市場的價格波動
有多種經濟學理論可以用來解釋股票市場的價格波動，以下是其中幾種：
1.有效市場假說：有效市場假說認為在一個信息透明、交易成本低廉的市場中，股票價格已經反映了所有可得到的信息，因此價格波動通常是由新信息的出現引起的，而且這些信息是隨機分布的，無法預測。
2.行為金融學：行為金融學研究人們在投資決策中所表現出來的心理和行為模式。它認為股仿跡票市場的價格波動不僅受到基本面因素的影響，還受到投資者的情感和心理因素的影響，例如投資者的過度自信、風險厭惡和羊群效應等。
3.資本資產備念定價模型（CAPM）：CAPM認為股票價格的波動源於市場總體仿大困回報率的變化，也就是市場風險溢價的變化。當市場風險溢價增加時，股票價格下跌；當市場風險溢價減少時，股票價格上漲。
需要注意的是，以上理論只是解釋股票價格波動的一部分原因，實際上股票價格波動是一個復雜的過程，受到多種因素的影響，包括政治、經濟、社會等因素。
㈢ 01 隱馬爾可夫模型 - 馬爾可夫鏈、HMM參數和性質
先直白得講性質： 當前的狀態只和上一時刻有關，在上一時刻之前的任何狀態都和我無關。我們稱其 符合 馬爾可夫性質。
下面是理論化的闡述：
設{X(t), t ∈ T}是一個 隨機過程 ，E為其狀態空間，若對於任意的t1<t2< ...<tn<t，任意的x1,x2,...,xn,x∈E，隨機變數X(t)在已知變數X(t1)=x1,...,X(tn)=xn之下的條件分布函數只與X(tn)=xn有關，而與X(t1)=x1,...,X(tn-1)=xn-1無關，即條件分布函數 滿足 下列等式，此性質稱為 馬爾可夫性 ；如果隨機過程 滿足 馬爾可夫性，則該過程稱為馬爾可夫過程。
馬爾可夫鏈 是指具有馬爾可夫性質的隨機過程。在過程中，在給定當前信息的情況下，過去的信息狀態對於預測將來 狀態 是無關的。
例子： 在今天這個時間點而言，過去的股價走勢對我預測未來的股價是毫無幫助的。
PS：上面馬爾可夫鏈中提到的 狀態 ，在本例指的是 股價 。
在馬爾可夫鏈的每一步，系統根據 概率分布 ，可以從一個狀態變成另外一個狀態，也可以保持當前狀態不變。狀態的改變叫做 轉移 ，狀態改變的相關概率叫做 轉移概率 。
例子： 當前時間狀態下的股價，可以轉變成下一時刻的股價，股價的轉變即 狀態的改變 。這個狀態現在可以上升(股價提高)，狀態也可以下降。我可以根據當前股票的價格去決定下一刻股價上升、下降、不變的概率。這種股價變動的概率稱為 狀態轉移概率 。
馬爾可夫鏈中的 三元素是 ：狀態空間S、轉移概率矩陣P、初始概率分布π。
1、狀態空間S - 例： S是一個集合，包含所有的狀態 S 股價 ={高，中，低} ；
2、初始概率分布π - 例：
股價剛發行的時候有一個初始價格，我們認為初始價格為高的概率為50%，初始價格為中的概率是30%，初始價格為低的概率是20%。我們記股票價格的初始概率分布為：π=(0.5，0.3，0.2)；對應狀態：(高、中、低)； 初始概率分布是一個向量 ，如果有n個狀態，π是n維向量。
3、轉移概率矩陣P - 例：
現在有個股價為中，下一個時刻狀態轉變的可能性有三種，中→高、中→低、中→中；將三種轉變的概率。此外當前時刻也有股票的價格屬於低，對應的轉變可能包括低→高、低→低、低→中；即每種狀態都有可能轉變成其他的狀態，若一共有n個狀態，形成的 轉移概率矩陣 應該是n×n階矩陣。這里需要注意的是，股價從高→低，和低→高的概率是不同的。
設將天氣狀態分為晴、陰、雨三種狀態，假定某天的天氣狀態只和上一天的天氣狀態有關，狀態使用1(晴)、2(陰)、3(雨)表示，轉移概率矩陣P如下：
第n+1天天氣狀態為j的概率為：
因此，矩陣P即為條件概率轉移矩陣。矩陣P的第i行元素表示，在上一個狀態為i的時候的分布概率，即每行元素的和必須為1。
隱馬爾可夫模型(Hidden Markov Model, HMM)是一種統計模型，在語音識別、行為識別、NLP、故障診斷等領域具有高效的性能。
HMM是關於時序的概率模型，描述一個含有未知參數的馬爾可夫鏈所生成的不可觀測的狀態隨機序列，再由各個狀態生成觀測隨機序列的過程。
HMM是一個雙重隨機過程---具有一定狀態的隱馬爾可夫鏈和隨機的觀測序列。
HMM隨機生成的狀態隨機序列被稱為狀態序列；每個狀態生成一個觀測，由此產生的觀測隨機序列，被稱為觀測序列。
思考： z1,z2...,zn是 不可觀測的狀態，x1,x2,...xn是 可觀測到的序列 ；不可觀測的狀態覺得可觀測序列的值(z的取值決定x的取值)；
1、在 z1、z2 不可觀測 的情況下，x1和z2獨立嗎？x1和x2獨立嗎？
回答： 這個問題可以回顧之前的 貝葉斯網路 來理解。
首先z1，z2都是離散的值，但x1的值可能是離散的也可能是連續的。比如z是天氣情況，每天天氣的改變是離散的。x是因為天氣而改變的一些其他狀態，比如x=(地面是否潮濕、路上行人數量、雨傘銷售數量...)；
在z1和z2不可觀測的情況下，x1和z2不獨立，x1和x2也是不獨立的。
2、 在 z1、z2可觀測 的情況下，x1和z2獨立嗎？x1和x2獨立嗎？
回答： 在z1和z2可觀測的情況下，因為x1和z2的取值只和z1有關，所以就獨立了。同樣在給定了z1和z2的情況下，x1和x2也獨立。
請回顧貝葉斯網路中的獨立性問題來思考這個問題。
04 貝葉斯演算法 - 貝葉斯網路
回顧：
一般而言，貝葉斯網路的有向無環圖中的節點表示隨機變數，可以是可觀察到的變數，或隱變數，未知參數等等。連接兩個節點之間的箭頭代表兩個隨機變數之間的因果關系(也就是這兩個隨機變數之間非條件獨立)；如果兩個節點間以一個單箭頭連接在一起，表示其中一個節點是「因」，另外一個節點是「果」，從而兩節點之間就會產生一個條件概率值。
PS：每個節點在給定其直接前驅的時候，條件獨立於其非後繼。
HMM 由隱含狀態S、可觀測狀態O、初始狀態概率矩陣π、隱含狀態轉移概率矩陣A、可觀測值轉移矩陣B(又稱為混淆矩陣，Confusion Matrix)；
π和A決定了狀態序列，B決定觀測序列，因此HMM可以使用三元符號表示，稱為HMM的三元素：
S可以統計歷史出現的所有狀態；
初始概率分布π，統計S中各個狀態各自出現的概率作為我們的初始概率分布π向量值；
S是所有可能的狀態集合，O是所有可能的觀測集合：
I是長度為T的狀態序列，Q是對應的觀測序列：
S={下雨，陰天，晴天}；O={地上干，地上濕}
I = {晴，雨，雨，陰，晴，陰}
Q={干，濕，濕，濕，干，干}
A是隱含狀態轉移概率矩陣:
其中aij是在時刻t處於狀態si的條件下時刻t+1轉移到狀態sj的概率。
a 晴雨 = 某天是晴天條件下，下一天是雨天的概率。 （某一時刻→下一時刻）
B是可觀測值轉移概率矩陣:
其中bij是在時刻t處於狀態si的條件下生成觀測值oj的概率。
b 晴干 = 某天是晴天條件下，某天是地是乾的的概率。 （同一時刻）
π是初始狀態概率向量:
其中πi是在時刻t=1處於狀態si的概率。
π 晴 = 初始第一天是晴天的概率；
π 雨 = 初始第一天是雨天的概率；
p(i t | .....) 表示在從 t-1時刻的觀測值q t-1 ，一直到第1時刻觀測值q1 的條件下，在第t時刻發生狀態的概率。
性質1： 最終分析結果發現，在第t時刻發生狀態的概率it只和t-1時刻有關。
性質2： 第t時刻的觀測值qt只和第t時刻的狀態it有關。
假設有三個盒子，編號為1,2,3；每個盒子都裝有黑白兩種顏色的小球，球的比例。如下：
按照下列規則的方式進行有放回的抽取小球，得到球顏色的觀測序列：
1、按照π的概率選擇一個盒子，從盒子中隨機抽取出一個球，記錄顏色後放回盒子中；
2、按照某種條件概率選擇新的盒子，重復該操作；
3、最終得到觀測序列：「白黑白白黑」
例如： 每次抽盒子按一定的概率來抽，也可以理解成隨機抽。
第1次抽了1號盒子①，第2次抽了3號盒子③，第3次抽了2號盒子②.... ； 最終如下：
①→③→②→②→③ 狀態值
白→黑→白→白→黑 觀測值
1、 狀態集合： S={盒子1，盒子2，盒子3}
2、 觀測集合： O={白，黑}
3、 狀態序列和觀測序列的長度 T=5 (我抽了5次)
4、 初始概率分布： π 表示初次抽時，抽到1盒子的概率是0.2，抽到2盒子的概率是0.5，抽到3盒子的概率是0.3。
5、 狀態轉移概率矩陣 A：a11=0.5 表示當前我抽到1盒子，下次還抽到1盒子的概率是0.5；
6、 觀測概率矩陣 B：如最初的圖，b11=第一個盒子抽到白球概率0.4，b12=第一個盒子抽到黑球概率0.6;
在給定參數π、A、B的時候，得到觀測序列為「白黑白白黑」的概率是多少?
這個時候，我們不知道隱含條件，即不知道狀態值：①→③→②→②→③ ；
我們如何根據π、A、B求出測序列為「白黑白白黑」的概率？
02 隱馬爾可夫模型 - HMM的三個問題 - 概率計算、學習、預測
㈣ 如何利用經濟學理論解釋股票市場的價格波動
股票市場價格波動是由多種經濟因素所驅動的。在這篇文章中，我將會利用經濟學原理解釋股票市場價格波動。
1.供需因素
供需因素是影響股票市場價格波動的重要因素之一。供需的不平衡會導致股票價格的波動。例如，如果市場上有大量的買家而賣家很少，那麼股票價格就會上漲。反之，如果市場上有大量的賣家而買家很少，股票價盯老格就會下跌。這種供需的不平衡可能是由於外部因素，例如政治和經濟環境的變化，也可能是由於公司內部的因素，例如財務報告的好壞等。
2.宏觀經濟因素
宏觀經濟因素也是影響股票市場價格波動的重要因素之一。這些因素包括通貨膨脹率、利率、匯率、貿易政策、政府財政政策等。例如，如果一個國家的通貨膨脹率高，那麼股票價格就會下跌，因為高滑則櫻通貨膨脹率會影響企業的盈利能力。相反，如果一個國家的利率下降，那麼股票價格就會上漲，因為低利率會促進企業的投資和擴張。
3.技術分析
技術分析是一種通過分析市場數據來預測股票價格走勢的方法。技術分析通常使用圖表和趨勢線來確定價格趨勢並預測未來價格變化。例如，如果一隻股票的價格在一段時間內一直處於上升趨勢，並且技術分析師認為這種趨勢將持續下去，那麼投資者就會買入該股票，從而推高股票價格。
4.市場心理因素
市場心理因素也是影響股票市場價格波動的重要因素之一。這些因素包括投資者情緒、市場情緒和市場預期等。例如，如果投資者對市場前景感到樂觀，那麼他們就會投資更多的資金，推高股票價格。相反，如果投資者對市場前景感到悲觀，那麼他們就會撤出資金，導致股票價格下跌。
總之，股票市場價格波動是由多種經濟因素所驅動的。雖然股票市場價格波動是無法預測的，但是對這些經濟因素有一定的了解可以幫助投資者更好地理解股票市場價格波動的原因。此外，投資者還應該密切關注企業的財務報告、市場趨勢和市信叢場心理，以制定投資策略，並根據市場變化及時調整投資組合。
㈤ 加權馬爾科夫鏈是什麼原理
由於每個時段的股票價格序列是一列相依的隨機變數，各階自相關系數刻畫了各種滯時(各個時段)的股票價格之間的相關關系的強弱。因此，可考慮先分別依其前面若干時段的股票價格(對應的狀態)對該時間段股票價格的狀態進行預測，然後，按前面各時段與該時段相依關系的強弱加權求和來進行預測和綜合分析，即可以達到充分、合理地利用歷史數據進行預測的目的，而且經這樣分析之後確定的投資策略也應該是更加合理的。這就是加權馬爾可夫鏈預測的基本思想。
㈥ 布朗運動是什麼
布朗運動的特點是布朗粒子的位移分布和粒子數密度分布都滿足擴散現象的規律。這說明在粒子濃度不均勻時發生的擴散現象，其本質是粒子的布朗運動產生了位移。在實際的技術應用中，擴散技術相當引人重視。 在半導體集成電路製造過程中，常用擴散方法將特定雜質引入半導體的預定部位，以形成器件或組件，使其具有設計的電路功能。擴散過程是在較高溫度下進行的，雜質原子通過晶體中的缺陷(空位或填隙原子)而遷移。所以，作布朗運動的粒子不只有尺度在微米級的顆粒，也可能是原子或分子。布朗粒子的運動特點是具有隨機性和偶然性。 在離子晶體中有正、負兩種離子，同時存在正、負離子空位，正、負離子就是通過這些空位來擴散的。由於這種運動是隨機的和無規則的，各個方向遷移的概率相同，因此，帶電粒子的布朗運動不會產生電流。但是如果加上恆定電場，離子運動就會在隨機的無規則的遷移之上加一項定向運動，從而能傳導電流。 由於作熱運動的大量介質分子(原子)對宏觀小物體的無規碰撞導致隨機運動引起的漲落，這種漲落以布朗運動為代表，所以布朗運動的實質是漲落。 電路中也有漲落現象，譬如電流、電壓的漲落，經過線路放大，產生雜訊。在導體中電子的熱運動是無規則的，有外電場時，在平均電流的背景上，還有一部分漲落電流，它使電信號產生雜訊。 在愛因斯坦關於布朗運動的論文發表之前，1900年法國數學家巴施里葉發表了論述股票的論文《投機理論》，認為根據當前的股價並不能確切知道下一時刻的股價，而只知道下一時刻股價的概率分布。他對股票價格的不規則波動構造了一個數學模型，這個模型與1905年愛因斯坦為布朗運動所建立的模型一致。後來，「股票價格比例變化是一種布朗運動」成為金融研究中的一個普遍假設。
㈦ 如何用數學模型預測股票市場的波動性
預測股票市場的波動性是一個復雜且具有挑戰性的問題。以下是幾種常見的數學模型：
1.隨機漫步模型：隨機漫步模拆帆型認為股票價格的變化是隨機的，不受任何外在因素的控制。這個模型可以用來預測短期股價走勢。
2.隨機波動模型：隨機波動模型相對於隨機漫步模型更加復雜，它認為股票價格的變化是由一系列固定的隨機過程組成。這個模型可以用來預測中長期股價走勢。
3.GARCH模型：廣義自回歸條件異方差模型（GARCH）可以衡量股票價格波動的大小和方向，因此它可以被用來進行波動率預測。GARCH模型包括一個自回歸部分和一個條件異方差部分。
4.神經網路模型：神經網路是一種可以通過學習數據以預測未來股價的機器學習演算法。神經網路可以發現數據中的模式和規律，從而提高預測准確性。
5.隨機過程模型：隨機過程模型可以將股價視為一個隨機函數，通過對這個函數的分析來預測旅彎雹股價走勢。這個方法可能需要鬧數更多的數據和復雜的數學分析工具。
㈧ 馬爾科夫 初始概率和絕對概率怎麼計算
此處根據的是隨機過程馬爾可夫鏈中的極限分布定理。
設此處的平衡概率向量為x=(x1,x2,x3)，並且記已知的轉移概率矩陣為：
p=00.80.2
00.60.4
1.000
則根據馬爾可夫鏈的極限分布定理，應有xp=x，即：
(x1,x2,x3)*（00.80.2
00.60.4
1.000）
=(x1,x2,x3)
利用矩陣乘法，上式等價於3個等式：
x3=x1
0.8x1+0.6x2=x2
0.2x1+0.4x2=x3
由以上三個等式只能解得：x3=x1，以及x2=2x1
另外，再加上平衡概率向量x的歸一性，即：x1+x2+x3=1
最終可解得：x1=0.25,x2=0.5,x3=0.25
不懂再問，祝好！