❶ 股票價格的隨機遊走的含義
隨機遊走模型的提出是與證券價格的變動模式緊密聯系在一起的。最早使用統計方法分析收益率的著作是在 1900年由路易·巴舍利耶（Louis Bachelier）發表的，他把用於分析賭博的方法用於股票、債券、期貨和期權。在巴舍利耶的論文中，其具有開拓性的貢獻就在於認識到隨機遊走過程是布 朗運動。1953年，英國統計學家肯德爾在應用時間序列分析研究股票價格波動並試圖得出股票價格波動的模式時，得到了一個令人大感意外的結論：股票價格沒 有任何規律可尋，它就象「一個醉漢走步一樣，幾乎宛若機會之魔每周仍出一個隨機數字，把它加在目前的價格上，以此決定下一周的價格。」即股價遵循的是隨機 遊走規律。
這也跟市場有效原則有關
弱有效證券市場是指證券價格能夠充分反映價格歷史序列中包含的所有信息，如有關證券的價格、交易量等。如果這些歷史信息對證券價格變動都不會產生任何影響，則意味著證券市場達到了弱有效。
❷ 證券價格服從漂移參數0.05，波動參數0.3的幾何布朗運動，當前價格為95，利率是4% 假設有種
根據題目，若假設有種新型投資，若購買該投資後六個月內證券價格至少為105，並且購買一年後的價格至少和六個月時價格一樣多，那麼這種投資一年後的收益為50。
幾何布朗運動 (GBM)（也叫做指數布朗運動）是連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變數的對數遵循布朗運動。[1]幾何布朗運動在金融數學中有所應用，用來在布萊克-斯科爾斯模型（Black-Scholes 模型）中模擬股票價格。本題中，若若假設有種新型投資，若購買該投資後六個月內證券價格至少為105，並且購買一年後的價格至少和六個月時價格一樣多，那麼計算為：50乘exp（-0.04）再乘【S（1/2）>105的概率】再乘【S（1）>S（1/2）的概率，則這種投資一年後的收益為50。
拓展資料：
1.常見隨機過程介紹
1）幾何布朗運動（GBM）：這個過程被Black-Scholes（1973）引入到期權定價文獻中，雖然這個過程有一些缺陷，並且與實證研究存在著沖突，但是仍然是一種期權和衍生品估值過程的基礎過程。
2）CIR模型：平方根擴散過程，這種過程由Cox，Ingersoll和Ross（1985）所提出，用於對均值回復的數量，例如利率或波動率進行建模，除了均值回復的特性以外，這個過程還是保持為正數。
3）跳躍擴散過程(Jump Diffusion)：首先由Merton（1976）所給出，為幾何布朗運動增加了對數正態分布的條約成分，這允許我們考慮，例如，短期虛值（OTM）的期權通常需要在較大條約的可能性下定價。換句話說，依賴GBM作為金融模型通常不能解釋這種OTM的期權的價格，而跳躍擴散過程可能很好的解釋。
4）Heston模型：是由Steven Heston（1993）提出的描述標的資產波動率變化的數學模型。Heston模型是一個隨機波動模型，這種模型假設資產收益率的波動率並不恆定，也不確定，而是跟隨一個隨機過程來運動。
5）SABR模型：SABR 模型是由Hagan（2002）提出的一種隨機波動率模型，在拋棄了原始的BSM模型中對於波動率為某一常數的假定，假設隱含波動率同樣是符合幾何布朗運動的，並且將隱含波動率設定為標的價格和合約行權價的函數，結合了隱含波動率修正模型的兩種思路（隨機波動率模型和局部波動率模型），更為准確的動態刻畫出吻合市場特徵的隱含波動率曲線。
❸ 布朗運動是什麼
布朗運動的特點是布朗粒子的位移分布和粒子數密度分布都滿足擴散現象的規律。這說明在粒子濃度不均勻時發生的擴散現象，其本質是粒子的布朗運動產生了位移。在實際的技術應用中，擴散技術相當引人重視。 在半導體集成電路製造過程中，常用擴散方法將特定雜質引入半導體的預定部位，以形成器件或組件，使其具有設計的電路功能。擴散過程是在較高溫度下進行的，雜質原子通過晶體中的缺陷(空位或填隙原子)而遷移。所以，作布朗運動的粒子不只有尺度在微米級的顆粒，也可能是原子或分子。布朗粒子的運動特點是具有隨機性和偶然性。 在離子晶體中有正、負兩種離子，同時存在正、負離子空位，正、負離子就是通過這些空位來擴散的。由於這種運動是隨機的和無規則的，各個方向遷移的概率相同，因此，帶電粒子的布朗運動不會產生電流。但是如果加上恆定電場，離子運動就會在隨機的無規則的遷移之上加一項定向運動，從而能傳導電流。 由於作熱運動的大量介質分子(原子)對宏觀小物體的無規碰撞導致隨機運動引起的漲落，這種漲落以布朗運動為代表，所以布朗運動的實質是漲落。 電路中也有漲落現象，譬如電流、電壓的漲落，經過線路放大，產生雜訊。在導體中電子的熱運動是無規則的，有外電場時，在平均電流的背景上，還有一部分漲落電流，它使電信號產生雜訊。 在愛因斯坦關於布朗運動的論文發表之前，1900年法國數學家巴施里葉發表了論述股票的論文《投機理論》，認為根據當前的股價並不能確切知道下一時刻的股價，而只知道下一時刻股價的概率分布。他對股票價格的不規則波動構造了一個數學模型，這個模型與1905年愛因斯坦為布朗運動所建立的模型一致。後來，「股票價格比例變化是一種布朗運動」成為金融研究中的一個普遍假設。
❹ 布朗運動的金融數學
將布朗運動與股票價格行為聯系在一起，進而建立起維納過程的數學模型是本世紀的一項具有重要意義的金融創新，在現代金融數學中佔有重要地位。迄今，普遍的觀點仍認為，股票市場是隨機波動的，隨機波動是股票市場最根本的特性，是股票市場的常態。
布朗運動假設是現代資本市場理論的核心假設。現代資本市場理論認為證券期貨價格具有隨機性特徵。這里的所謂隨機性，是指數據的無記憶性，即過去數據不構成對未來數據的預測基礎。同時不會出現驚人相似的反復。隨機現象的數學定義是：在個別試驗中其結果呈現出不確定性；在大量重復試驗中其結果又具有統計規律性的現象。描述股價行為模型之一的布朗運動之維納過程是馬爾科夫隨機過程的一種特殊形式；而馬爾科夫過程是一種特殊類型的隨機過程。隨機過程是建立在概率空間上的概率模型，被認為是概率論的動力學，即它的研究對象是隨時間演變的隨機現象。所以隨機行為是一種具有統計規律性的行為。股價行為模型通常用著名的維納過程來表達。假定股票價格遵循一般化的維納過程是很具誘惑力的，也就是說，它具有不變的期望漂移率和方差率。維納過程說明只有變數的當前值與未來的預測有關，變數過去的歷史和變數從過去到現在的演變方式則與未來的預測不相關。股價的馬爾科夫性質與弱型市場有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是說，一種股票的現價已經包含了所有信息，當然包括了所有過去的價格記錄。但是當人們開始採用分形理論研究金融市場時，發現它的運行並不遵循布朗運動，而是服從更為一般的幾何布朗運動（geometric browmrian motion）。
❺ 為什麼用幾何布朗運動描述股票價格
幾何布朗運動就是物理中典型的隨機運動，其特點就是不可預測，而在股市中的短期股票價格也是不可預測。
❻ 平價關系式中可以說一種資產是什麼
在20世紀70年代初，費希爾·布萊克( Fisher black)、邁倫·斯科爾斯( Myron Scholes)和羅伯特·默頓( Robert Merton)在對歐式股票期權定價研究方面取得了重大的理論突破，提出了針對歐式期權定價的模型，該模型被稱為布萊克-斯科爾斯-默頓模型(簡稱BSM模型)。
模型假設：
在推導出布萊克斯科爾斯-默頓模型時，有以下7個假設前提條件：
一是假設基礎資產的股票價格服從幾何布朗過程；二是可以賣空證券，並且可以完全運用賣空所獲得的資金；三是無交易費用和無稅收，所有證券均可無限分割；四是在期權期限內，基礎資產無期間收入(比如股票不支付股息)；五是市場不存在無風險套利機會；六是證券交易是連續進行的；七是短期無風險利率是一個常數，並對所有期限都是相同的。
微分方程：
此外，模型在推導過程中運用到了一個很重要的微分方程，具體就是
微分方程
其中，式子中的 f 表示看漲期權價格，S表示期權基礎資產的價格，r為連續復利的無風險收益率，σ為基礎資產價格百分比變化(收益率)的波動率，t是時間變數。
定價公式：
歐式看漲期權的定價公式
看漲期權定價公式
通過看漲-看跌平價關系式，可以得到看跌期權的定價公式：
看跌期權定價公式
其中：
d的計算
c與p分別代表歐式看漲、看跌期權的價格，S0是基礎資產在初始0時刻的價格，K是期權的執行價格，r是連續復利的無風險收益率，σ為基礎資產價格百分比變化(收益率)的年化波動率，T是期權合約的期限(單位是年)，N()表示累積標准正態分布的概率密度。
代碼實現基於布萊克-斯科爾斯-默頓模型計算歐式看漲期權、看跌期權定價的函數：
import numpy as np
from scipy.stats import norm
def call_BS(S,K,sigma,r,T):
'''用bs模型計算歐式看漲期權價格
S 期權基礎資產價格
K 期權執行價格
sigma 基礎資產價格百分比變化（收益率）的年化波動率
r 無風險收益率
T 期權合約剩餘年限
'''
d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
return S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)
def put_BS(S,K,sigma,r,T):
'''用bs模型計算歐式看跌期權價格
S 期權基礎資產價格
K 期權執行價格
sigma 基礎資產價格百分比變化（收益率）的年化波動率
r 無風險收益率
T 期權合約剩餘年限
'''
d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
return K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1)
例子：
一份期限為6個月的股票期權，期權的基礎資產是工商銀行的A股股票,2018年12月28日股票收盤價是5.29元/股，期權的執行價格為6元股，無風險利率為年化4%，股票收益率的年化波動率是24%，運用布萊克斯科爾斯-默頓模型計算看漲期權看跌期權的價格。
call_BS(S=5.29, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5)
put_BS(S=5.29, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5)
二、看漲-看跌期權 平價關系式
具有相同執行價格與期限的歐式看跌期權、看漲期權在價格上有一個重要關系式。
1.兩個投資組合
首先，考慮以下兩個投資組合在期權合約到期時的盈虧情況。A投資組合：一份歐式看漲期權和一份在T時刻到期的本金為K的零息債券；B投資組合：一份歐式看跌期權和一份基礎資產。這里需要假設看漲期權與看跌期權具有相同的執行價格K與相同的合約期限T。
對於A投資組合而言，零息債券在期權合約到期日(T時刻)的價值顯然是等於K，而對於看漲期權則分兩種情形討論。
情形1：如果在T時刻，基礎資產價格St>K，A投資組合中的歐式看漲期權將被執行，此時，A投資組合的價值是(St-K)+K=St；
情形2：如果在T時刻，基礎資產價格St<K，A投資組合中的歐式看漲期權就沒有價值，此時A投資組合的價值為K。
對於B投資組合而言，也分兩種情形討論。
情形1：如果在T時刻，基礎資產價格St>K，此時，B投資組合中的歐式看跌期權沒有價值，此時，B投資組合價值為St，也就是僅剩下基礎資產的價值；
情形2：如果在T時刻，基礎資產價格St<K，此時，B投資組合中的歐式看跌期權會被行使，此時B投資組合價值為(K-St)+St=K。綜合以上的分析，當St>K時，在T時刻兩個投資組合的價值均為St；當St<K時在T時刻兩個投資組合的價值均為K。換而言之，在T時刻(期權合約到期時)，兩個投資組合的價值均為max(St, K)
由於A投資組合與B投資組合中的期權均為歐式期權，在期權到期之前均不能行使，既然兩個投資組合在T時刻均有相同的收益，在期權合約的存續期內也應該有相同的價值。否則，就會出現無風險套利機會，套利者可以買入價格低的投資組合，與此同時賣空價格高的投資組合進行無風險的套利，無風險套利收益就是等於兩個組合價值的差額。
2. 抽象的數學表達式
看漲期權 + 零息債券價格 = 看跌期權 + 基礎資產價格
平價共識
代碼實現：
def call_parity(p,S,K,r,T):
'''通過平價關系式用看跌期權價格計算歐式看漲期權價格。
p：歐式看跌期權價格
S：期權基礎資產價格
K：執行價格
r：無風險收益率
T：合約剩餘期限
'''
return p + S - K * np.exp(-r * T)
def put_parity(c,S,K,r,T):
'''通過平價關系式，用看漲期權價格計算歐式看跌期權價格。
c：歐式看漲期權價格
S：期權基礎資產價格
K：執行價格
r：無風險收益率
T：合約剩餘期限
'''
return c + K * np.exp(-r * T) - S
例子：
假設當前股票價格為20元股，期權的執行價格為18元/股，無風險收益率為每年5%,3個月的歐式看漲期權價格對外報價是2.3元,3個月的歐式看跌期權對外報價是0.3元，期權價格是否合理？
call_parity(p=0.3, S=20, K=18, r=0.05, T=0.25)
==>2.523599591110134
put_parity(c=2.3, S=20, K=18, r=0.05, T=0.25)
==>0.07640040888986732
通過計算，看漲期權被低估，看跌期權則被高估，因此可以通過持有看漲期權的多頭頭寸並買入零息債券(相當於買入A投資組合)，同時持有看跌期權的空頭頭寸並賣空基礎資產（相當於賣空B投資組合），從而實現無風險套利。
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再稍微復雜一點，對收益率做測試（ S(t)/S(t-1) - 1）做測試，發現，哎居然還基本是個正態分布。收益率是正態的，股價就是GBM模型
總之，就是大家做了很多統計測試，發現假設成GBM還能很好的逼近真實數值，比較接近事實。所以就用這個。
其實將精確的數學模型應用到金融的時間非常短。最早是1952年的Markowitz portfolio selection. 那個其實就是一個簡單的優化問題。後來的CAPM APT等諸多模型，也僅僅研究的是一系列證券，他們之間回報、收益率以及其他影響因素關系，沒有涉及到對股價運動的描述。
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