『壹』 正太分布問題
正態分布，不是正太分布
生產與科學實驗中很多隨機變數的概率分布都可以近似地用正態分布來描述。例如，在生產條件不變的情況下，產品的強力、抗壓強度、口徑、長度等指標；
一種生物體的身長、體重等指標；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈著點沿某一方向的偏差；某個地區的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來說，如果一個量是由許多微小的獨立隨機因素影響的結果，那麼就可以認為這個量具有正態分布（見中心極限定理）。從理論上看，正態分布具有很多良好的性質 ，許多概率分布可以用它來近似；還有一些常用的概率分布是由它直接導出的，例如對數正態分布、t分布、F分布等。
個人資產受限較多，如國家政策，個人能力，社會環境等，人為因素太大，一般不遵循正態分布
『貳』 為什麼假設股票價格服從正態分布是不現實的
有一個最基本的想法，如果股票符合正態分布，那麼，會怎樣？因為趨勢已定，所有人都可以在股票價格變動前預測到股票將來的價格走勢。投資將成為一件沒有任何意義的事情。
另外，股票價格會受到企業的發展、經濟的環境、政策的走勢以及人們的心理波動影響。所以，其價格出現非規律變化、非正太分布的波動是非常正常的。
『叄』 股票收益率服從正態分布，這種假設合理嗎
其實也有點道理，里大盤越近，追蹤大盤越緊的收益率越高！希望能夠認可。
『肆』 afp股票收益率正態分布
股票收益率並不是正態分布,而是相比正態分布,還具有尖峰厚尾,波動聚集等特徵,這很正常,因為並不是說就一定要正態,假定正態能夠方便。
『伍』 《超簡交易》連載5：正態分布與均值回歸
一、正態分布
正態分布（Normal distribution），也稱常態分布，是統計學中最重要的一種概率分布。正態分布概念是由德國數學家與天文學家Moivre於1733年首次提出的，但由於德國數學Gauss（C.F.Gauss，1777-1855）率先將其應用於天文學研究，故此正態分布又稱高斯分布（Gaussian distribution），是統計學中最重要的一種概率分布。
正態分布描述的是某件事出現不同結果的概率分布情況，屬於一般規律。正態分布的概率密度函數曲線呈鍾形，因此人們又經常稱之為鍾形曲線。鍾形曲線的特點是：兩頭低，中間高，左右對稱，曲線與橫軸間的面積總等於1。如下圖所示：
例如：假設抽樣調查了一個學校100名18歲男大學生身高（cm），身高為隨機變數、相互獨立，服從正態分布。身高的均值μ為172.70cm，標准差σ=4.01cm。這說明：均值μ代表了這些男大學生身高的期望值（或平均身高），中等身高的人比較多，而特別高的和特別低的人比較少。均值μ加減一個標准差σ會有68.27%的男大學生身高處於這個范圍，均值μ加減1.96個標准差σ會有95%的男大學生身高處於這個范圍，均值μ加減2.58個標准差σ會有99%的男大學生身高處於這個范圍。
正態分布對我們有什麼意義呢？與正態分布關系緊密的一個現象是「均值回歸」。
均值回歸（Mean Reversion）是以正態分布假設為基礎，認為事物在長期的變化過程中，總有向「平衡位置」（或均值位置）靠攏的傾向。「均值回歸」現象是英國人弗朗西斯·高爾頓（FrancisGalton，1822-1911）發現的。高爾頓出身名門，與著名的查爾斯·達爾文（Charles Robert Darwin，1809-1882）是堂兄弟。
大約1875年，高爾頓用一種甜豌豆種子做實驗，經過大量、艱辛的實驗，高爾頓發現，母豌豆的直徑變化范圍比子豌豆直徑的變化范圍要大很多。母豌豆平均直徑為0.18英寸，其變化范圍為0.15~0.21英寸，或者說在平均值0.18英寸兩側各0.03英寸之內。子豌豆的平均直徑為0.163英寸，其變化范圍是0.154~0.173英寸，或者說是僅在平均值0.163英寸兩邊各0.01英寸范圍內變動。子豌豆直徑的分布比母豌豆直徑的分布更為緊湊。
這種回歸，在自然界是非常必要的。因為如果這種回歸的進程不存在的話，那麼，大豌豆會繁殖出更大的豌豆，小的豌豆會繁殖出更小的豌豆……如果這樣，這個世界就會兩極化，只有侏儒和巨人。大自然會使每一代變得越來越畸形，最終達到我們無法接受的極端。均值回歸原理適用於日常生活，比如在體育運動方面，人人都有一個平均水平，只是有時會超水平發揮，有時會低於平均水平。任何一連串的重復活動，其結果通常都會接近平均值或中間值。
例如：打網球時連續揮拍24次，如果有一個球打得特別好，下一個球及可能有點拖泥帶水。如果不小心打了一記球，下一個球通產會打得漂亮一點。均值回歸原理在自然領域獲得了驗證，它又與一些社會現象頗為相似，例如：「天下大事，分久必合，合久必分」、「繁榮的必將衰亡，衰亡的必將繁榮」、「富不過三代」、「君子之澤，五世而斬」……等等。
均值回歸原理也激發了各種風險承擔和預測理論的產生。在聖經中，當約瑟夫對法老王預言「七個富年後必是七個荒年」的時候，他一定已經知道這是事物註定的規律了。而當J.P.摩根認為「市場是波動的」的時候，他所要表達的也正是這個意思。喬治·索羅斯也說：「凡事總有盛極而衰的時候，大好之後便是大壞」。
正如大多數人類活動一樣，股市中價格的均值回歸從理論上講具有必然性。因為有一點是可以肯定的，股票價格不能總是上漲或下跌，一種趨勢不管其持續的時間多長都不能永遠持續下去。在一個趨勢內，股票價格呈持續上升或下降，我們稱之為均值偏離（Mean Aversion，也叫均值迴避）。當出現相反趨勢時就呈均值回歸（Mean Reversion）。
這也是許多投資者所堅信的信條：當他們說某隻股票已經「高估」或者「低估」時，他們指的是恐懼和貪婪使得人們推動股價遠離了它的「內在價值」，但是股價最終是要回歸的。
二、何時回歸
巴菲特：「我覺得要預測會發生什麼比較簡單，但預測何時發生會比較困難」。「內在價值」，也許真的會「回歸」，但關鍵在於什麼時候回歸。
不同的股票市場，回歸的周期不一樣，就是對同一個股票市場來說，每次回歸的周期也不一樣。有時，長期趨勢來得太遲，即便均值回歸原理發揮了作用，也無法拯救我們了。到目前為止，均值回歸原理仍不能預測的是回歸的時間間隔，即回歸的周期「隨機漫步」。
一次，經濟學家凱恩斯說道：「先生們，從長遠來看，我們都會死掉的。」如果在狂風暴雨的季節里，經濟學家僅能預言：很久後風暴會過去的，一切又會恢復平靜的，那麼，他們的工作就太簡單、太無用了。如果一個人永遠強調房價會跌（或股價會漲），那麼這人更適合做民意代表，而不是預測者。從長遠看，沒有隻漲不跌的商品。如果不顧事實，永遠說會跌，這個猜硬幣正反有何區別？只要不改口，硬幣總有出反面的時候。
難道均值回歸只是一種中看不中用的理論嗎？在後續章節中，將會給出變通的方法，講述如何利用均值回歸原理，來捕捉行情走勢的波動。
三、回歸何處
均值回歸是一個簡單的概念：身材非常高的父母所生的孩子，一般會比他們的父母矮；而身材非常矮的父母所生的孩子，一般會比他們的父母高。對於大多數人來說，這是個很容易理解的概念。將這個觀點應用到證券價格的波動中，意味著證券價格會返回到平均值。
但是，我們遇到一個問題，身高的反轉是兩代人之間的生理現象，而價格反轉是一個實時的動態過程。還有一個重要問題就是「均值」怎麼確定。均值本身到底是多少，在經濟生活中卻是個很模糊的數字。昨天的均值很可能被今天新的正常值所取代，而我們對這個正常值卻一無所知。如果僅僅因為過去的經驗，認為會回歸到原來的均值上去，那是很危險的事情。
有人認為巴菲特是價值投資理念，也是基於均值回歸原理，但是學巴菲特的人多如牛毛，能夠成功的鮮如牛角。查理·芒格作為沃倫·巴菲特的最佳拍檔，有「幕後師爺」和「終極秘密武器」之稱。
有人曾問：如何評估一隻股票的「內在價值」？
芒格回答：搞清一隻股票的「內在價值」，遠比成為一個鳥類學家難得多。
依靠均值回歸預測未來是十分危險的，因為均值本身就變化不定。
揭露交易本質，奮斗財富自由。
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『陸』 如果用matlab驗證股票的收盤價符合對數正態分布
先導入數據，然後取收盤價的對數值即y＝ln（y）
clc;clear
y=ln(y)
Std=std(y) %標准差
[F,XI]=ksdensity(y)
figure(1)
plot(XI,F,'o-')
x =randn(300000,1);
figure(2)
[f,xi] = ksdensity(x);
plot(xi,f);
畫出概率分布圖
ksdensity -------------------- Kernel smoothing density estimation.
表示核平滑密度估計
『柒』 關於Black－Scholes模型
Black-Scholes期權定價模型
Black-Scholes期權定價模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布萊克-肖爾斯期權定價模型
1997年10月10日，第二十九屆諾貝爾經濟學獎授予了兩位美國學者，哈佛商學院教授羅伯特·默頓(RoBert Merton)和斯坦福大學教授邁倫·斯克爾斯(Myron Scholes)。他們創立和發展的布萊克——斯克爾斯期權定價模型(Black Scholes Option Pricing Model)為包括股票、債券、貨幣、商品在內的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎。
斯克爾斯與他的同事、已故數學家費雪·布萊克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一個期權定價的復雜公式。與此同時，默頓也發現了同樣的公式及許多其它有關期權的有用結論。結果，兩篇論文幾乎同時在不同刊物上發表。所以，布萊克—斯克爾斯定價模型亦可稱為布萊克—斯克爾斯—默頓定價模型。默頓擴展了原模型的內涵，使之同樣運用於許多其它形式的金融交易。瑞士皇家科學協會(The Royal Swedish Academyof Sciencese)贊譽他們在期權定價方面的研究成果是今後25年經濟科學中的最傑出貢獻。
[編輯]B-S期權定價模型(以下簡稱B-S模型)及其假設條件
[編輯](一)B-S模型有7個重要的假設
1、股票價格行為服從對數正態分布模式；
2、在期權有效期內，無風險利率和金融資產收益變數是恆定的；
3、市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本，所有證券完全可分割；
4、金融資產在期權有效期內無紅利及其它所得(該假設後被放棄)；
5、該期權是歐式期權，即在期權到期前不可實施。
6、不存在無風險套利機會；
7、證券交易是持續的；
8、投資者能夠以無風險利率借貸。
[編輯](二)榮獲諾貝爾經濟學獎的B-S定價公式
C = S * N(d1) − Le − rTN(d2)
其中:
C—期權初始合理價格
L—期權交割價格
S—所交易金融資產現價
T—期權有效期
r—連續復利計無風險利率H
σ2—年度化方差
N()—正態分布變數的累積概率分布函數 ，在此應當說明兩點：
第一，該模型中無風險利率必須是連續復利形式。一個簡單的或不連續的無風險利率(設為r0)一般是一年復利一次，而r要求利率連續復利。r0必須轉化為r方能代入上式計算。兩者換算關系為:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，則r=ln(1+0.06)=0853，即100以583%的連續復利投資第二年將獲106，該結果與直接用r0=0.06計算的答案一致。
第二，期權有效期T的相對數表示，即期權有效天數與一年365天的比值。如果期權有效期為100天，則。
[編輯]B-S定價模型的推導與運用
(一)B-S模型的推導B-S模型的推導是由看漲期權入手的，對於一項看漲期權，其到期的期值是:
E[G] = E[max(St − L,O)]
其中，E[G]—看漲期權到期期望值
St—到期所交易金融資產的市場價值
L—期權交割(實施)價
到期有兩種可能情況:
1、如果St > L，則期權實施以進帳(In-the-money)生效，且max(St − L,O) = St − L
2、如果St < L，則期權所有人放棄購買權力，期權以出帳(Out-of-the-money)失效，且有:
max(St − L,O) = 0
從而:
其中:P：(St > L)的概率E[St | St > L]：既定(St > L)下St的期望值將E[G]按有效期無風險連續復利rT貼現，得期權初始合理價格:
C = Pe − rT(E[St | St > L] − L)這樣期權定價轉化為確定P和E[St | St > L]。
首先，對收益進行定義。與利率一致，收益為金融資產期權交割日市場價格(St)與現價(S)比值的對數值，即收益 = lnSt / S = ln(St / L)。由假設1收益服從對數正態分布，即ln(St / L)～，所以E[lN(St / S] = μt，St / S～可以證明，相對價格期望值大於eμt，為:E[St / S] = eμt + σ2T2 = eeT從而，μt = T(r − σ2)，且有σt = σT
其次，求(St > L)的概率P，也即求收益大於(LS)的概率。已知正態分布有性質:Pr06[ξ > x] = 1 − N(x − μσ)其中:
ζ：正態分布隨機變數
x：關鍵值
μ：ζ的期望值
σ：ζ的標准差
所以:P = Pr06[St > 1] = Pr06[lnSt / s] > lnLS = :LN − lnLS − (r − σ2)TσTnc4 由對稱性:1 − N(d) = N( − d)P = NlnSL + (r − σ2)TσTarS。
第三，求既定St > L下St的期望值。因為E[St | St > L]處於正態分布的L到∞范圍，所以，
E[St | St] > = SerTN(d1)N(d2)
其中:
最後，將P、E[St | St] > L]代入(C = Pe − rT(E[St | St > L] − L))式整理得B-S定價模型:C = SN(d1) − Le − rTN(d2)
(二)看跌期權定價公式的推導
B-S模型是看漲期權的定價公式，根據售出—購進平價理論(Put-callparity)可以推導出有效期權的定價模型，由售出—購進平價理論，購買某股票和該股票看跌期權的組合與購買該股票同等條件下的看漲期權和以期權交割價為面值的無風險折扣發行債券具有同等價值，以公式表示為:
S + Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) − T
移項得:
Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) − T − S，
將B-S模型代入整理得:
此即為看跌期權初始價格定價模型。
(三)B-S模型應用實例
假設市場上某股票現價S為 164，無風險連續復利利率γ是0.0521，市場方差σ2為0.0841，那麼實施價格L是165，有效期T為0.0959的期權初始合理價格計算步驟如下:
①求d1:
=0.0328
②求d2:
③查標准正態分布函數表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761
④求C:
C=164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.4761=5.803
因此理論上該期權的合理價格是5.803。如果該期權市場實際價格是5.75，那麼這意味著該期權有所低估。在沒有交易成本的條件下，購買該看漲期權有利可圖。
[編輯]B-S模型的發展、股票分紅
B-S模型只解決了不分紅股票的期權定價問題，默頓發展了B-S模型，使其亦運用於支付紅利的股票期權。
(一)存在已知的不連續紅利假設某股票在期權有效期內某時間t(即除息日)支付已知紅利Dt，只需將該紅利現值從股票現價S中除去，將調整後的股票價值S′代入B-S模型中即可:S' = S − Dte − rT。如果在有效期內存在其它所得，依該法一一減去。從而將B-S模型變型得新公式:
(二)存在連續紅利支付是指某股票以一已知分紅率(設為δ)支付不間斷連續紅利，假如某公司股票年分紅率δ為0.04，該股票現值為164，從而該年可望得紅利164×004= 6.56。值得注意的是，該紅利並非分4季支付每季164；事實上，它是隨美元的極小單位連續不斷的再投資而自然增長的，一年累積成為6.56。因為股價在全年是不斷波動的，實際紅利也是變化的，但分紅率是固定的。因此，該模型並不要求紅利已知或固定，它只要求紅利按股票價格的支付比例固定。
在此紅利現值為:S(1-E-δT)，所以S′=S•E-δT，以S′代S，得存在連續紅利支付的期權定價公式:C=S•E-δT•N(D1)-L•E-γT•N(D2)
[編輯]B-S模型的影響
自B-S模型1973年首次在政治經濟雜志(Journalofpo Litical Economy)發表之後，芝加哥期權交易所的交易商們馬上意識到它的重要性，很快將B-S模型程序化輸入計算機應用於剛剛營業的芝加哥期權交易所。該公式的應用隨著計算機、通訊技術的進步而擴展。到今天，該模型以及它的一些變形已被期權交易商、投資銀行、金融管理者、保險人等廣泛使用。衍生工具的擴展使國際金融市場更富有效率，但也促使全球市場更加易變。新的技術和新的金融工具的創造加強了市場與市場參與者的相互依賴，不僅限於一國之內還涉及他國甚至多國。結果是一個市場或一個國家的波動或金融危機極有可能迅速的傳導到其它國家乃至整個世界經濟之中。我國金融體制不健全、資本市場不完善，但是隨著改革的深入和向國際化靠攏，資本市場將不斷發展，匯兌制度日漸完善，企業也將擁有更多的自主權從而面臨更大的風險。因此，對規避風險的金融衍生市場的培育是必需的，對衍生市場進行探索也是必要的，我們才剛剛起步。
[編輯]對B-S模型的檢驗､批評與發展
B-S模型問世以來，受到普遍的關注與好評，有的學者還對其准確性開展了深入的檢驗。但同時，不少經濟學家對模型中存在的問題亦發表了不同的看法，並從完善與發展B-S模型的角度出發，對之進行了擴展。
1977年美國學者伽萊(galai)利用芝加哥期權交易所上市的股票權的數據，首次對布-肖模型進行了檢驗。此後，不少學者在這一領域內作了有益的探索。其中比較有影響的代表人物有特里皮(trippi)､奇拉斯(chiras)､曼納斯特(manuster)､麥克貝斯(macbeth)及默維勒(merville)等。綜合起來，這些檢驗得到了如下一些具有普遍性的看法：
1.模型對平值期權的估價令人滿意，特別是對剩餘有效期限超過兩月，且不支付紅利者效果尤佳。
2.對於高度增值或減值的期權，模型的估價有較大偏差，會高估減值期權而低估增值期權。
3.對臨近到期日的期權的估價存在較大誤差。
4.離散度過高或過低的情況下，會低估低離散度的買入期權，高估高離散度的買方期權。但總體而言，布-肖模型仍是相當准確的，是具有較強實用價值的定價模型。
對布-肖模型的檢驗著眼於從實際統計數據進行分析，對其表現進行評估。而另外的一些研究則從理論分析入手，提出了布-肖模型存在的問題，這集中體現於對模型假設前提合理性的討論上。不少學者認為，該模型的假設前提過嚴，影響了其可靠性，具體表現在以下幾方面：
首先，對股價分布的假設。布-肖模型的一個核心假設就是股票價格波動滿足幾何維納過程，從而股價的分布是對數正態分布，這意味著股價是連續的。麥頓(merton)､考克斯(cox)､羅賓斯坦(robinstein)以及羅斯(ross)等人指出，股價的變動不僅包括對數正態分布的情況，也包括由於重大事件而引起的跳起情形，忽略後一種情況是不全面的。他們用二項分布取代對數正態分布，構建了相應的期權定價模型。
其次，關於連續交易的假設。從理論上講，投資者可以連續地調整期權與股票間的頭寸狀況，得到一個無風險的資產組合。但實踐中這種調整必然受多方面因素的制約：1.投資者往往難以按同一的無風險利率借入或貸出資金；2.股票的可分性受具體情況制約；3.頻繁的調整必然會增加交易成本。因此，現實中常出現非連續交易的情況，此時，投資者的風險偏好必然影響到期權的價格，而布-肖模型並未考慮到這一點。
再次，假定股票價格的離散度不變也與實際情況不符。布萊克本人後來的研究表明，隨著股票價格的上升，其方差一般會下降，而並非獨立於股價水平。有的學者(包括布萊克本人)曾想擴展布-肖模型以解決變動的離散度的問題，但至今未取得滿意的進展。
此外，不考慮交易成本及保證金等的存在，也與現實不符。而假設期權的基礎股票不派發股息更限制了模型的廣泛運用。不少學者認為，股息派發的時間與數額均會對期權價格產生實質性的影響，不能不加以考察。他們中有的人對模型進行適當調整，使之能反映股息的影響。具體來說，如果是歐洲買方期權，調整的方法是將股票價格減去股息(d)的現值替代原先的股價，而其他輸入變數不變，代入布-肖模型即可。若是美國買方期權，情況稍微復雜。第一步先按上面的辦法調整後得到不提早執行情況下的價格。第二步需估計在除息日前立即執行情況下期權的價格，將調整後的股價替代實際股價，距除息日的時間替代有效期限､股息調整後的執行價格(x-d)替代實際執行價格，連同無風險利率與股價離散度等變數代入模型即可。第三步選取上述兩種情況下期權的較大值作為期權的均衡價格。需指出的是，當支付股息的情況比較復雜時，這種調整難度很大。
『捌』 請檢驗滬深300價格收益率序列是否服從正態分布
股市有自己的去年規律，它不是隨機的數，所以不服從正態分布。
『玖』 為什麼股票價格服從對數正態分布
我們可以假設連續復利，用lnS1-lnS0來近似股票的收益（S1-S0）/S0，而且根據集合布朗運動可知，此收益是服從正態分布的。
『拾』 股市K線中的正態分部是什麼
一種概率分布。正態分布是具有兩個參數μ和σ2的連續型隨機變數的分布，第一參數μ是服從正態分布的隨機變數的均值，第二個參數σ2是此隨機變數的方差，所以正態分布記作N(μ，σ2 )。 服從正態分布的隨機變數的概率規律為取與μ鄰近的值的概率大 ，而取離μ越遠的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正態分布的密度函數的特點是：關於μ對稱，在μ處達到最大值，在正（負）無窮遠處取值為0，在μ±σ處有拐點。它的形狀是中間高兩邊低 ，圖像是一條位於x軸上方的鍾形曲線。當μ＝0，σ2 ＝1時，稱為標准正態分布，記為N（0，1）。μ維隨機向量具有類似的概率規律時，稱此隨機向量遵從多維正態分布。多元正態分布有很好的性質，例如，多元正態分布的邊緣分布仍為正態分布，它經任何線性變換得到的隨機向量仍為多維正態分布，特別它的線性組合為一元正態分布。
正態分布最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。
生產與科學實驗中很多隨機變數的概率分布都可以近似地用正態分布來描述。例如，在生產條件不變的情況下，產品的強力、抗壓強度、口徑、長度等指標；同一種生物體的身長、體重等指標；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈著點沿某一方向的偏差；某個地區的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來說，如果一個量是由許多微小的獨立隨機因素影響的結果，那麼就可以認為這個量具有正態分布（見中心極限定理）。從理論上看，正態分布具有很多良好的性質 ，許多概率分布可以用它來近似；還有一些常用的概率分布是由它直接導出的，例如對數正態分布、t分布、F分布等。