A. 馬爾科夫 初始概率和絕對概率怎麼計算
此處根據的是隨機過程馬爾可夫鏈中的極限分布定理。
設此處的平衡概率向量為x=(x1,x2,x3)，並且記已知的轉移概率矩陣為：
p=00.80.2
00.60.4
1.000
則根據馬爾可夫鏈的極限分布定理，應有xp=x，即：
(x1,x2,x3)*（00.80.2
00.60.4
1.000）
=(x1,x2,x3)
利用矩陣乘法，上式等價於3個等式：
x3=x1
0.8x1+0.6x2=x2
0.2x1+0.4x2=x3
由以上三個等式只能解得：x3=x1，以及x2=2x1
另外，再加上平衡概率向量x的歸一性，即：x1+x2+x3=1
最終可解得：x1=0.25,x2=0.5,x3=0.25
不懂再問，祝好！
B. 您好，我想問問您的一個回答的論文題目，百度知道上的問題是：（以下補充）謝謝！
摘 要 研究了滬深300指數日收益率時間序列，經檢驗其具有馬氏性，並建立了馬爾可夫鏈模型。取交易日分時數據，根據分時數據確定狀態初始概率分布，通過一步轉移概率矩陣對下一交易日的日收益率進行了預測。對該模型分析和計算，得出其為有限狀態的不可約、非周期馬爾可夫鏈，求解其平穩分布，從而得到滬深300指數日收益率概率分布。並預測了滬深300指數上漲或下跌的概率，可為投資管理提供參考。
關鍵詞 馬爾可夫鏈模型 滬深300指數 日收益率概率分布 平穩分布
1 引言
滬深300指數於2005年4月正式發布，其成份股為市場中市場代表性好，流動性高，交易活躍的主流投資股票，能夠反映市場主流投資的收益情況。眾多證券投資基金以滬深300指數為業績基準，因此對滬深300指數收益情況研究顯得尤為重要，可為投資管理提供參考。
取滬深300指數交易日收盤價計算日收益率，可按區間將日收益率分為不同的狀態，則日收益率時間序列可視為狀態的變化序列，從而可以嘗試採用馬爾可夫鏈模型進行處理。馬爾可夫鏈模型在證券市場的應用已取得了不少成果。參考文獻[1]、[2]、[3]和[4]的研究比較類似，均以上證綜合指數的日收盤價為對象，按漲、平和跌劃分狀態，取得了一定的成果。但只取了40～45個交易日的數據進行分析，歷史數據過少且狀態劃分較為粗糙。參考文獻[5]和[6]以上證綜合指數周價格為對象，考察指數在的所定義區間（狀態）的概率，然其狀態偏少（分別只有6個和5個狀態），區間跨度較大，所得結果實際參考價值有限。參考文獻[7]對單只股票按股票價格劃分狀態，也取得了一定成果。
然而收益率是證券市場研究得更多的對象。本文以滬深300指數日收益率為對考察對象進行深入研究，採用matlab7.1作為計算工具，對較多狀態和歷史數據進行了處理，得出了滬深300指數日收益率概率分布，並對日收益率的變化進行了預測。
2 馬爾可夫鏈模型方法
2.1 馬爾可夫鏈的定義
設有隨機過程{Xt，t∈T}，T是離散的時間集合，即T={0，1，2，L}，其相應Xt可能取值的全體組成狀態空間是離散的狀態集I={i0，i1，i2，L}，若對於任意的整數t∈T和任意的i0，i1，L，it+1∈I，條件概率則稱{Xt，t∈T}為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈。馬爾可夫鏈的馬氏性的數學表達式如下：
P{Xn+1=in+1|X0=i0，X1=i1，L，Xn=in}=P{Xn+1=in+1|Xn=in} （1）
2.2 系統狀態概率矩陣估計
馬爾可夫鏈模型方法的基本內容之一是系統狀態的轉移概率矩陣估算。估算系統狀態的概率轉移矩陣一般有主觀概率法和統計估演算法兩種方法。主觀概率法一般是在缺乏歷史統計資料或資料不全的情況下使用。本文採用統計估演算法，其主要過程如下：假定系統有m種狀態S1，S2，L，Sm根據系統的狀態轉移的歷史記錄，可得到表1的統計表格。其中nij表示在考察的歷史數據范圍內系統由狀態i一步轉移到狀態j的次數，以■ij表示系統由狀態i一步轉移到狀態的轉移概率估計量，則由表1的歷史統計數據得到■ij的估計值和狀態的轉移概率矩陣P如下：
■ij=nij■nik，P=p11 K p1mM O Mpm1 L pmn（2）
2.3 馬氏性檢驗
隨機過程{Xt，t∈T}是否為馬爾可夫鏈關鍵是檢驗其馬氏性，可採用χ2統計量來檢驗。其步驟如下：（nij）m×m的第j列之和除以各行各列的總和所得到的值記為■.j，即：
■.j=■nij■■nik，且■ij=nij■nik（3）
當m較大時，統計量服從自由度為（m-1）2的χ2分布。選定置信度α，查表得χ2α（（m-1）2），如果■2>χ2α（（m-1）2），則可認為{Xt，t∈T}符合馬氏性，否則認為不是馬爾可夫鏈。
■2=2■■nijlog■ij■.j（4）
2.4 馬爾可夫鏈性質
定義了狀態空間和狀態的轉移概率矩陣P，也就構建了馬爾可夫鏈模型。記Pt（0）為初始概率向量，PT（n）為馬爾可夫鏈時刻的絕對概率向量，P（n）為馬爾可夫鏈的n步轉移概率矩陣，則有如下定理：
P（n）=PnPT（n）=PT（0）P（n）（5）
可對馬爾可夫鏈的狀態進行分類和狀態空間分解，從而考察該馬爾可夫鏈模型的不可約閉集、周期性和遍歷性。馬爾可夫鏈的平穩分布有定理不可約、非周期馬爾可夫鏈是正常返的充要條件是存在平穩分布；有限狀態的不可約、非周期馬爾可夫鏈必定存在平穩過程。
3 馬爾可夫鏈模型方法應用
3.1 觀測值的描述和狀態劃分
取滬深300指數從2005年1月4日~2007年4月20日共555個交易日收盤價計算日收益率（未考慮分紅），將日收益率乘以100並記為Ri，仍稱為日收益率。計算公式為：
Ri=（Pi-Pi-1）×100/Pi-1（6）
其中，Pi為日收盤價。
滬深300指數運行比較平穩，在考察的歷史數據范圍內日收益率有98.38％在[-4.5，4.5]。可將此范圍按0.5的間距分為18個區間，將小於-4.5和大於4.5各記1區間，共得到20個區間。根據日收益率所在區間劃分為各個狀態空間，即可得20個狀態（見表2）。
3.2 馬氏性檢驗
採用χ2統計量檢驗隨機過程{Xt，t∈T}是否具有馬氏性。用前述統計估演算法得到頻率矩陣（nij）20×20。
由（3）式和（4）式可得：■.j=■nij■■nik，且■ij=nij■nik，■2=2■■nijlog■ij■.j=446.96，令自由度為k=（m-1）2即k=361，取置信度α=0.01。由於k>45，χ2α（k）不能直接查表獲得，當k充分大時，有：
χ2α（k）≈■（zα+■）2（7）
其中，zα是標准正態分布的上α分位點。查表得z0.01=2.325，故可由（1）、（7）式得，即統計量，隨機過程{Xt，t∈T}符合馬氏性，所得模型是馬爾可夫鏈模型。
3.3 計算轉移概率矩陣及狀態一步轉移
由頻率矩陣（nij）20×20和（1）、（2）式得轉移概率矩陣為P=（Pij）20×20。考察2007年4月20日分時交易數據（9：30~15：30共241個數據），按前述狀態劃分方法將分時交易數據收益率歸於各狀態，並記Ci為屬於狀態i的個數，初始概率向量PT（0）=（p1，p2，L，pt，L，p20），則：
pj=Cj/241，j=1，2，K，20（8）
下一交易日日收益率分布概率PT（0）={p1（1），p2（1），L，pi（1），L，p20（1）}，且有PT（1）-PT（0）p，計算結果如表3所示。
3.4 馬爾可夫鏈遍歷性和平穩分布
可以分析該馬爾可夫鏈的不可約集和周期性，從而進一步考察其平穩分布，然而其分析和求解非常復雜。本文使用matlab7.1採用如下演算法進行求解：將一步轉移概率矩陣P做乘冪運算，當時Pn+1=Pn停止，若n>5 000亦停止運算，返回Pn和n。計算發現當n=48時達到穩定，即有P（∞）=P（48）=P48。考察矩陣P（48）易知：各行數據都相等，不存在數值為0的行和列，且任意一行的行和為1。故該馬爾可夫鏈{Xt，t∈T}只有一個不可約集，具有遍歷性，且存在平穩分布{πj，j∈I}，平穩分布為P（48）任意一行。從以上計算和分析亦可知該馬爾可夫鏈是不可約、非周期的馬爾可夫鏈，存在平穩分布。計算所得平穩分布如表4所示。
3.5 計算結果分析
表3、表4給出了由當日收益率統計出的初始概率向量PT（0），狀態一步預測所得絕對概率向量PT（1）和日收益率平穩分布，由表3和表4綜合可得圖1。可以看出，雖然當日（2007年4月20日）收益率在區間（1.5，4.5）波動且在（2.5，4.5）內的概率達到了0.7261，表明在2007年4月20日，日收益率較高（實際收盤時，日收益率為4.41），但其下一交易日和從長遠來看其日收益率概率分布依然可能在每個區間。這是顯然的，因為日收益率是隨機波動的。
對下一交易日收益率預測（PT（1）），發現在下一交易日收益率小於0的概率為0.4729，大於0的概率為0.5271，即下一交易日收益率大於0的概率相對較高，其中在區間（-2，-1.5）、（0.5，1）和（1，1.5）概率0.2675、0.161和0.1091依次排前三位，也說明下一交易日收益率在（-2，-1.5）的概率會比較高，有一定的風險。
從日收益率長遠情況（平穩分布）來看，其分布類似正態分布但有正的偏度，說明其極具投資潛力。日收益率小於0的概率為0.4107，大於0的概率為0.5893，即日收益率大於0的概率相當的高於其小於0的概率。
4 結語
採用馬爾可夫鏈模型方法可以依據某一交易日收益率情況向對下一交易日進行預測，也可得到從長遠來看其日收益率的概率分布，定量描述了日收益率。通過對滬深300指數日收益率分析和計算，求得滬深300指數日收益率的概率分布，發現滬深300指數日收益率大於0的概率相對較大（從長遠看，達到了0.5893，若考慮分紅此概率還會變大），長期看來滬深300指數表現樂觀。若以滬深300指數構建指數基金再加以調整，可望獲得較好的回報。
筆者亦採用范圍（-5，5）、狀態區間間距為1和范圍（-6，6）、狀態區間間距為2進行運算，其所得結果類似。當採用更大的范圍（如-10，10等）和不同的區間大小進行運算，計算發現若狀態劃分過多，所得模型不易通過馬氏性檢驗，如何更合理的劃分狀態使得到的結果更精確是下一步的研究之一。在後續的工作中，採用ANN考察所得的日收益率預測和實際日收益率的關系也是重要的研究內容。馬爾可夫鏈模型方法也可對上證指數和深證成指數進行類似分析。
參考文獻
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10 盛千聚.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社.1989轉
C. 馬爾可夫鏈運用在股票指數模型中的局限性
挾制於技術指標
D. 為什麼說正態分布在經濟領域應用廣泛
正態分布在經濟領域的廣泛應用：
1．財務會計研究領域
隨著金融市場和現代企業制度的建立，財務會計向企業外部提供的財務信息倍受各利益關系人關注，而「財務會計信息有沒有用」這樣一個挑戰性的問題出現了。所以早期的實證會計研究主要是從有效市場假設（EMH）和資本資產定價模型（CAPM）出發，檢驗財務會計數據與其他經濟指標（特別是股價）的關系，如果財務會計指標（特別是會計收益指標）與股票價格相關，則說明會計信息的披露對證券市場的資源配置功能有效。後來這一結論被實證研究所證實，這有效地駁斥了「會計無用論」，從而奠定了實證會計研究的地位。近年來，會計政策選擇成為實證會計研究的重心，以解釋和預測企業「為什麼會選擇這種會計政策，而不採取那種會計政策」。例如：會計政策選擇與企業規模、地區分布、資本結構、分紅計劃。債務契約的關系；企業的外部利益關系人對會計信息反應的研究等，如果將上述問題給予抽象，它們都涉及「變數間的相互關系」這樣一個可以歸結為數學的問題。所以，針對上述問題，在研究隨時間變化、具有隨機性而又前後相互關聯的動態數據時，用到時間序列分析，它包括建立時間序列模型（ARIMA模型）、參數估計及譜估計等理論與方法。在討論多元變數之間是否存在線性相關時，運用多元線性回歸模型、典型相關分析和殘差檢驗。由於正態分布在會計數據中廣泛存在，例如，以任一會計科目作為總體，則不同時期該科目數額特別巨大和特別小（如為零）的比較少，則可以視之符合正態分布等，所以與正態分布相關的檢驗方法被大量使用：檢驗母體均值與原假設均值是否具有顯著差異的U一檢驗，檢驗兩個母體均值是否相等的T一檢驗，檢驗母體的方差與原假設方差是否具有顯著差異的X2一檢驗，檢驗兩個正態母體方差是否相等的F一檢驗。對不確定的母體分布採用非參數統計方法，如非參數檢驗。國外實證研究證實股票價格波動具有馬爾可夫性，即在有效的資本市場中現在的股票價格已反映了以往和現在的全部經濟信息，以前的股價行料對將來的股價波動不再具有信息價值，「將來」只與「現在」有關，而與「過去」無關。解決這方面問題的模型有：回歸一馬爾可夫模型、隨機游動模型。
2．理財、管理會計研究領域
現代理財論，總的說來是圍繞估價問題而展開的，這里所說的估價，既包括對個別「資本資產」的估價，也包括對企業總體價值的估價。如探討投資風險和投資報酬的投資組合理論（Portfolia Theory），後來該理論又發展為資本資產定價模型（CAPM），套利定價理論（Arbitrage Pricing Theroy）、探討資本結構與企業總價值關系的資本結構理論（Capital Structure Theory）、MM（Modigliani， Miller）理論、米勒模型（Miler Model）等。其中廣泛應用了微積分、線性代數及概率論與數理統計。針對創新金融工具的估價模式——期權定價模型則廣泛地應用了偏微分方程、隨機微分方程及倒向隨機微分方程等較為先進、復雜的數學理論與方法。
管理會計主要是利用信息來預測前景，參與決策。籌劃未來，控制和評價經濟活動等，保證以較少的勞動消耗和資金佔用，取得較好的經濟效益。管理會計應用的數學方法也相當廣泛，例如預測成本和銷售額時採用回歸分析，評價企業財務狀況、投資效益時採用層次分析法，預測經營狀況是採用具有吸收狀態（企業破產）的馬爾可夫鏈。另外還有「經濟定貨量」模型、「經濟生產量」模型、敏感分析、彈性分析等，則是應用微分學解決經濟問題的一些典範。管理會計中許多問題可以歸結為：數學分析中的極值問題；數學規劃中一定約束條件下的目標函數的最值問題；馬爾可夫相關理論問題；在約束條件和目標函數不能用線性方程或線性函數表示時的非線性規劃問題；在解決多階段決策問題時的動態規劃問題；解決如何經濟、合理地設置服務設施，從而以最低成本最大地滿足顧客需要問題時的排隊論問題，如人力資源選擇，機器設備選購等；導源於宏觀經濟管理並在微觀經濟管理中也有廣泛地應用的投入——產出分析問題，例如，用於多階段生產條件下生產與成本計劃的制定。
3．審計研究領域
審計主要是通過對財務會計信息的鑒證，以增強信息使用者對財務會計信息信任程度。在審計中最常用的數學方法是抽樣技術。隨著統計科學和企業規模的不斷發展，許多會計公司將統計抽樣理論與審計相結合，設計出了審計抽樣技術。對受審單位的內部控制制度有效性進行符合性測試時，採用屬性抽樣，如連續性抽樣，發現抽樣。在實質性測試中採用變數抽樣，如分層隨機抽樣及累計概率比例抽樣法（PPS），這對於減少審計風險和成本，提高審計工作效率和效果意義重大，因為嚴格遵循隨機原則抽取樣本，根據總體容量、誤差率、精確度、可信水平等因素綜合分析得到樣本容量，其分布規律更加接近於審計總體的分布規律。另外，在預測突發事件或不確定性問題時，歷史數據或既定的模型並不能完全反映它們，在這種情況下還要結合專家的專業判斷、經驗進行預測，也就是說，這一步的後驗分布又是下一步先驗分布的基礎，不斷對模型進行修正使之「動態化」，以提高預測精度。近年來，判別分析模型和聚類分析模型在國外也開始引入審計研究領域。對於定性資料的統計分析方面，Logit模型和probit模型被廣泛應用，例如用於預測注冊會計師簽署審計意見類型等。
值得注意的是，當人們尋求用定量方法處理復雜經濟問題時，容易注重於數學模型的邏輯處理，而忽視數學模型微妙的經濟含義或解釋，實際上，這樣的數學模型看來理論性很強，其實不免牽強附會，從而脫離實際。與其如此，不如從建模型一開始就老實承認數學方法的不足，而求助於經驗判斷，將定性的方法與定量的方法相結合，最後定量。
E. 模擬馬爾可夫鏈
蒙特卡羅（Monte Carlo）是世界著名的［賭城］，是摩納哥的標志。富麗堂皇的蒙地卡羅賭場，建於一八六三年，是一幢古色古香以及巍峨的宮殿式建築物，再加上山明水秀，使遊客抵達門前，立即發生好感。門前有一大片廣場，是一個花圃，一草一木都修剪整齊，鮮花盛放，七彩繽紛，園旁有一停車場，園盡處一間宮殿式的建築便是聞名世界的蒙地卡羅賭場了。登台階入門，站著警衛把守。照摩納哥法律，本國人不準入內賭博，觀光客自然歡迎，然後憑護照交十法朗便成為［一日］的［會員］，憑此證才能進入賭場。場內氣派堂皇，牆上的裝飾與帷幕，加上白天也亮的鑽石般閃爍的水晶燈，滿鋪的紅地毯烘托著，穿著整齊禮服的侍者，氣氛上是不同凡響。內有適合歌劇表演的大舞台，再過一道門進入一間大廳，便是著名的賭場了。
賭場幾乎等於是蒙特羅的小縮影，不管您賭不賭博，如果來到蒙特卡羅沒到賭場走一遭，或者試一下手氣，那可真是有入寶山空手而返的感覺。只要下點小賭注，看桌上籌碼搬家的聲音，想像著財富不知幾時會向您面前推過來，那種經驗和感覺，就值得日後向兒孫輩誇上老半天了。
蒙特卡羅賭場以輪盤為主，現在雖加入其他賭具，但輪盤賭仍最受人歡迎。它受歡迎的理由之一，是賭客有較多獲勝機會。這里的輪盤和其他賭場里稍有不同：這里的輪盤賭只有一個零（莊家統吃）而其他地方則有兩個零。蒙特卡羅現有輪盤賭十八桌，每個輪盤上有卅七孔（卅六個數字加上零），可容納小象牙球的落入。賭客們可以在任何數字上下注，如果勝了，莊家付出卅五倍的錢。也可以賭單數或雙數，紅格或黑格（每一個孔的顏色是紅黑相間的），如果下這一類的注，勝了可得與財相同的錢，不過獲勝的機會是一比一的。零點的顏色是綠的，要是出了這個數，莊家除了賠系在零字上的賭注外，其他台上各門統吃。單只這個零點便給莊家帶來百分之二點七的獲勝機會，雖然不多，但已足夠維持賭場的開支與盈利了
F1賽事中歷史最悠久的就是摩納哥大獎賽。自1950 年F1大賽在這里問世以來，風景優美的蒙特卡洛城街道已經49次作為F1大獎賽的賽道。這里沒有看台，有居民甚至自豪地說，他是站在自己家的陽台上觀看比賽的。這里平時是街道，等到正式比賽才加上防護牆，組成了臨時賽道。正是這樣的原因，這條賽道自1950 年以來幾乎沒有做過改動。
「這是一條一點錯誤都不能有的賽道。」舒馬赫指出：「對賽車的調教必須十分小心，以應付賽道的每一種特點。我的經驗是穩定性在摩納哥是最為重要的一個方面。」駕馭馬力強大的F1賽車78次穿越狹窄的街道完成這站比賽對車手來說確實是一次充滿刺激的挑戰。難怪有人將摩納哥大獎賽稱為F1「王冠上的明珠」，在這里奪得冠軍的車手無意中也會被車迷們「看高」一個檔次
現在在學術上稱一種隨機現象為蒙特卡羅現象
F. 數學建模
論文：運用統計和概率方法分析美國GDP運行走勢
字體大小：大 | 中 | 小 2009-03-17 11:14 - 閱讀：37 - 評論：0
撰稿時間：2008年11月
摘要：以美國近幾十年的Real GDP（實際GDP）季度變化百分比作為離散型隨機變數，運用統計和概率方法，利用馬爾可夫鏈模型，按照變化幅度劇烈與緩慢進行量化、建模，從以往的幾十年實際GDP變化規律，預測未來一兩年內美國實際GDP變化走勢。
關鍵字：GDP；概率；統計；馬爾可夫鏈；轉移概率；經濟預測
1 引言
概率論與數理統計是研究隨機現象客觀規律性的數學學科，它的理論和方法已廣泛地應用於自然學科、技術科學和社會科學的各個領域，尤其在天氣預報、地質勘探等領域有著廣泛的應用。著名經濟學家特里夫·哈維默就認為全部經濟規律都可以用概率的方法來描述。各種經濟數據可以看作是一系列相互影響或者獨立的隨機變數，而經濟數據的變化則是一個個錯綜復雜的隨機過程。隨著全球經濟的融合和金融信息化，概率論在宏觀經濟預測、調控以及統計提供有效參考數據等方面將發揮越來越重要的作用。
國內生產總值(Gross Domestic Proct，GDP)，是衡量一個國家經濟運行好壞的最重要的經濟運行指標之一。本文從概率論學角度出發，分析美國1947年以來近幾十年的實際GDP（Real GDP）變化情況，從變化的幅度大小和變化的時間跨度兩方面入手，將實際GDP變化百分比轉化為在有限狀態空間內變化的離散型隨機變數。這個隨機變數在狀態空間內轉移的過程也就是實際GDP隨時間變化的隨機過程，構建出實際GDP變化的馬爾可夫鏈模型。從而根據建立的概率模型來預測隨機變數的下一步的轉移情況，得到的就是未來實際GDP的運行走勢。大致的分析與預測過程可以描述為：數據處理－>統計與分析－>建立數學模型－>得出結論。
2 對GDP的分析與建模
美國是全球最發達的經濟體，對美國經濟發展的運行指標進行研究和考察，不僅能揭示出美國經濟周期本身的特點，還可以對經濟運行起到良好的分析和借鑒作用，對世界各國宏觀經濟的運行預測和干預提供幫助。而且美國經濟指標體系的完備程度也最高，作為重要的公共信息定期發布和修正，從理論分析上保證了數據的可靠性和充分性。
國內生產總值(Gross Domestic Proct，GDP)：是指一國生產的全部最終產品和服務的總值。GDP是目前各個國家和地區用來衡量該國或地區的經濟發展綜合水平通用的指標，反應一個國家總體經濟狀況的一張最為重要、綜合性最強的晴雨表。通常所說的GDP是指名義GDP（Normal GDP），而實際GDP（Real GDP）考慮到了通貨膨脹導致價格上升的因素，相對而言更准確的反應了一個國家的經濟發展。美國經濟分析局[1]（Bureau of Economic Analysis）提供的多種GDP指標中以不同的權重來衡量，此次分析選擇了實際GDP季度變化百分比（Percent Change From Preceding Period in Real Gross Domestic Proct [Index numbers, 2000=100]），更關注的是GDP的波動變化。美國GDP數據每個季度公布一次，此次考察區間為1947年第2季度至2008年第3季度期間實際GDP變化百分比（見表1），用數學公式描述為一個離散的序列：t是表示季度的排序序號，從零開始;X表示實質GDP變化百分比
研究經濟數據的運行過程，也是構造數學模型的過程，必然以大量的數據統計為基礎。連續62年共246個季度的GDP變化百分比能夠反應了美國相當長時期內的GDP走勢，因此可以作為對今後一定長時期內GDP變化分析的數據依據[2]。
2.1 對GDP變化的直觀分析
由於經濟現象中經濟變數的變化錯綜復雜，必然帶有一定的隨機「干擾」，因此需要先對隨機變數分布作一定的假定。首先，使用微軟EXCEL軟體將上述變化百分比序列以散點圖形式繪制出來（見圖1）。從圖上可以直觀分析得出：美國連續62年以來，實際GDP變化百分比大體上經歷著「上升－下降－上升－下降」的不斷重復的特性，所不同的是，時間跨度和上升或下降的幅度不同。結合美國經濟發展歷史，在這62年期間美國經濟經歷了 「增長－>衰退－>增長－>衰退」隨機往復特性。當處於經濟危機階段或者經濟滯脹時期，實際GDP變化百分比就會發生連續大幅上下震盪的趨勢，而當經濟處於平穩發展階段，實際GDP變化百分比呈現小幅上下震盪趨勢。由此可以根據實際GDP變化幅度反向推斷經濟運行趨勢。
2.2構建GDP變化的馬爾可夫鏈模型
馬爾可夫（Markov）過程是用於分析隨機過程的理論方法，對於時間和狀態都是離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈。馬爾可夫鏈模型通常用於統計學中的建模，在自然生物人口過程、商品市場佔有率變化、以及天氣變化方面都有非常廣泛的應用。如果某一時刻系統狀態的概率分布只與前一時刻的狀態有關，與以前的狀態無關，則該系統符合馬爾可夫性或者無後效性。實際GDP變化百分比受到很多外部經濟變數如戰爭、宏觀調控政策等各種因素的影響，變化呈現隨機特性，因此可以認為短期內未來實質GDP變化百分比只與當前階段的實質GDP變化有關，符合馬爾可夫性。
為了描述實際GDP百分比的變化幅度，先要對看似隨機變化的數據進行量化，幅度大小對百分比進行如下量化定義：
狀態1：大幅增長（一次或者連續幾次增長幅度超過7，包括邊界值）；
狀態2：大幅下降（一次或者連續幾次下降幅度超過7，包括邊界值）；
狀態3：小幅增長（一次或者連續幾次幅度增長大於1並且小於7）；
狀態4：小幅下降（一次或者連續幾次幅度下降大於1並且小於7）；
可以看出，區分大幅增長還是小幅度增長的變化幅度范圍對概率統計起到決定因素，不同的量化標准產生的統計結果也會不一樣。另外，在圖1中可以看到有些相鄰的時間點變化幅度非常微小，這里把這個叫做干擾，把前後相鄰變化幅度小於1的序列點視為干擾信號，近似認為後一個序列點狀態保持不變。如果將這種細微變化也算作小幅增長或者小幅下降，將會放大幹擾信號的作用。這樣實質GDP變化百分比就轉化成了一個在1、2、3、4有限狀態空間內變動的離散的時間序列。如果只關注狀態變化趨勢和經歷的時間，則只需要記錄狀態發生變化的134個序號以及發生的時間點即可，這樣一個新的狀態序列描述為：s代表排序序號，從零開始；t代表狀態發生變化的季度序號；Y代表狀態。
用Microsoft Excel的散點圖形式描繪的實際GDP變化狀態（見圖2）能夠更直觀的觀察實際GDP變化幅度在有限個狀態空間內的變化情況：
對上述狀態序列Y(t)進行統計，可以得出各狀態之間一步轉移的次數，進而計算出各狀態之間一步轉移概率和一步轉移矩陣P。另外，為了得到狀態發生一步轉移所經歷的時間跨度，需要計算出相應的狀態轉移的時間差，即當tn到tn+1時，狀態從Yn轉移到Yn+1，則對應的時間跨度為sn+1－sn，通過簡單的求平均值的方法求出所有一步狀態轉移對應的平均時間跨度（見表3），時間跨度以季度為一個單位。
狀態轉移 轉移次數 一步轉移概率 平均時間跨度
狀態1到狀態2 10 0.476 2.3
狀態1到狀態4 11 0.524 2.3
狀態2到狀態1 13 0.542 2.2
狀態2到狀態3 11 0.458 1.9
狀態3到狀態2 14 0.304 1.6
狀態3到狀態4 32 0.696 1.8
狀態4到狀態1 7 0.167 1.3
狀態4到狀態3 35 0.833 1.6
總計133次(表3：實際GDP狀態一步轉移統計結果)
2.3 根據馬爾可夫模型對近期美國GDP變化進行預測
當前實質GDP變化的狀態是4，根據上述轉移矩陣和每次轉移所經歷的時間跨度可以得出近期發生狀態轉移的結果，即近期實質GDP變化幅度和大致所需要經歷的時間。
當前狀態 轉移步數 目標狀態 轉移概率 平均時間跨度
4 2 2 0.333 3.4
4 2 4 0.667 3.5
4 3 1 0.292 5.3
4 3 3 0.708 5.2
表4：馬爾可夫鏈模型對實質GDP變化的預測結果
模型給出的預測結果顯示：美國實際GDP當前處於小幅下降階段，經過2次轉移後，大約在未來3～4個季度內，會出現兩種變化走勢，小幅下跌和大幅下跌，發生的可能性分別為66.7%和33.3%。經過3次轉移後，大約在未來5～6季度會發生小幅增長和大幅增長，發生的概率分別為70.8%和29.2%。由此分析得出，未來3～4個季度內（目前為2008年11月）美國經濟肯定會出現衰退，出現大幅幅度衰退的可能性高達66.7%；而經濟恢復則需要在未來5～6季度內發生，緩慢回升的概率更大，佔70.8%，由此看來美國未來一兩年內經濟形式面臨嚴峻考驗。
3 總結
概率論作為一門研究隨機現象的數量規律學科，通過將金融經濟中的數據以概率論方法統計分析後，可以關繫到各個國家經濟導向。今後將逐漸在經濟中發揮著重要的作用。馬爾科夫分析法是研究隨機事件變化趨勢的一種方法。經濟運行數據的變化也經常受到各種不確定因素的影響而帶有隨機性，若其具有「無後效性」，則可以用馬爾科夫分析法對其未來發展趨勢進行宏觀趨勢分析。實際GDP季度變化百分比是一個固定時間間隔的幅度大小發生變化的隨機過程，因此用馬爾可夫鏈模型分析其變化趨勢是比較符合這一類應用。首先對實際GDP季度變化百分比按照變化幅度劃分有限個狀態的狀態空間，然後對狀態之間的一步轉移情況進行統計，進而計算出實際GDP變化的一步轉移概率矩陣。由這個概率矩陣和當前狀態就可以推算出GDP變化下一個狀態是什麼，其概率為多少，也就是未來的實際GDP變化走勢。
任何模擬自然界數據的一種模型都會存在一定的誤差，不同的是誤差的大小不同而已。本文在數據處理階段即概率狀態空間的劃分過程中，由於不同的量化標准產生的統計結果也不一樣，因此會損失了部分樣本，產生了一定的誤差。
本文的概率分析過程僅針對眾多經濟運行指標中的一個進行，實際的經濟運行體包括多個經濟衡量指標，比如消費者物價指數、通貨膨脹率、失業率等等，它們之間相互關聯和影響，如果想更准確的得到經濟運行走勢，可以對多個經濟指標逐個分析，然後對每個分析和預測結果再進行綜合評測。
4標注
[1] 美國經濟分析局BEA（Bureau of Economic Analysis）：BEA的功能主要是分析和綜合大量數據以便創造美國經濟的一個連貫模式。BEA還對國際、國家和地區的經濟進行預算和分析。其中以對國民生產總值（GDP）的預算最為著名。
[2] 美國實際GDP季度變化百分比僅從1947年開始有記載，因此數據有限，僅對未來短期內的GDP變化預測起到借鑒作用，對分析未來長期宏觀經濟形式可能會有局限性。
5參考文獻
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[2] 隋亞莉，李鴻儒，《經濟數學基礎--概率統計(第3版)》，清華大學出版社
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[4] 楊曾武，《統計預測原理》，中國財政經濟出版社，1990
[5] 郝艷茹，馬爾可夫鏈理論與市場佔有率分析和預測，《上海統計》，2000，（1）
http://kittyzhang007.blog.bokee.net/bloggermole/blog_viewblog.do?id=2748601
G. 加權馬爾科夫鏈是什麼原理
由於每個時段的股票價格序列是一列相依的隨機變數，各階自相關系數刻畫了各種滯時(各個時段)的股票價格之間的相關關系的強弱。因此，可考慮先分別依其前面若干時段的股票價格(對應的狀態)對該時間段股票價格的狀態進行預測，然後，按前面各時段與該時段相依關系的強弱加權求和來進行預測和綜合分析，即可以達到充分、合理地利用歷史數據進行預測的目的，而且經這樣分析之後確定的投資策略也應該是更加合理的。這就是加權馬爾可夫鏈預測的基本思想。
H. 馬爾科夫鏈在經濟預測和決策中的應用
馬爾科夫鏈對經濟預測和決策是通過模型來進行的。
馬爾可夫鏈，是指數學中具有馬爾可夫性質的離散事件隨機過程。該過程中，在給定當前知識或信息的情況下，過去（即當前以前的歷史狀態）對於預測將來（即當前以後的未來狀態）是無關的。
馬爾科夫鏈是一種預測工具。適宜對很多經濟現象的描述。最為典型的就是對股票市場的分析。有人利用歷史數據預測未來股票或股市走勢，發現並不具備明顯的准確性，得出的結論是股市無規律可言。
經濟學者們用建立馬爾科夫鏈模型來進行預測和決策，一般分為三步，設定狀態，計算轉移概率矩陣，計算轉移的結果。